Bedeutung der Nullstellen in der Übertragungsfunktion

Kann jemand bitte erklären, einen Link bereitstellen oder ein Buch zitieren, in dem die Eigenschaften der Nullstellen für kontinuierliche und diskrete Zeitsysteme erklärt werden? Ich weiß, dass die Nullstellen die Frequenzen sind, bei denen der Zähler einer Übertragungsfunktion Null wird.

H ( S ) = A ( S ) B ( S )

Aber ich würde gerne wissen, welche Rolle der Ort in der Pol-Null-Verschwörung spielt? Alles, was ich finden kann, sind Pol-Null-Plots und dass die Pole im Grunde die Systemstabilität und das Zeitverhalten definieren. Aber was "tun" die Nullen? Was passiert, wenn die Nullstellen in der rechten oder linken Halbebene liegen? Beschreiben die Nullen die Dämpfung oder auch Stabilität?

Hier ist ein Link zu einem PDF des MIT, das die Polnullen erklärt. Mir fehlen jedoch Details zu Nullen.

Das habe ich auch schon gefunden. Ich suche nach einem Pol-Null-Diagramm, in dem die Positionen für Nullen erklärt werden. Aber es gibt auch nicht viele Informationen über die Nullen. Was passiert, wenn eine Null in der rechten Halbebene liegt? Sie beschreiben den Überschuss an Polen und Nullstellen und was passiert, wenn Nullstellen auf/in der Nähe der imaginären Achse und bei Null liegen.
Gibt es auch instabile Nullstellen wie instabile Pole?
Es könnte hilfreich sein, sich die Abschnitte zum Zeichnen von Bode-Plots anzusehen. Diese geben eine intuitive Erklärung für die Wirkung der Nullstellen in einem kontinuierlichen Zeitsystem.
Es gibt Nullstellen, die sich im selben Bereich wie instabile Pole befinden können (dh in der rechten Hälfte der s-Ebene oder außerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene). aber wenn Nullen da draußen sind, führt das nicht dazu, dass das System instabil wird. es bewirkt jedoch, dass es sich um eine Nicht-Minimalphase handelt. Daher müssen sowohl Nullstellen als auch Pole in der linken Hälfte der s-Ebene oder innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene liegen, damit das System sowohl stabil als auch minimalphasig ist. und ein Minimalphasensystem kann invertiert werden (was ein Vertauschen von Polen und Nullen verursacht) und stabil sein. nicht so bei einem Nicht-Minimalphasensystem.
Wenn ein System rechte halbe Nullen hat, zeigt das System umgekehrte Antworteigenschaften
@robertbristow-johnson Ich denke, es wäre besser, wenn Sie Ihren Kommentar in eine Antwort umwandeln würden, alle anderen sind eher vage, einseitig und scheinen die Frage von OP nicht wirklich zu beantworten. Ein Bild, das die Pole / Nullen einer Zufallsübertragungsfunktion darstellt, könnte dem OP ebenfalls helfen.
Okay @aconcernedcitizen , das werde ich tun.
@robert Ich habe eine Frage. Wenn ein Pol auf der rechten Seite der s-Ebene platziert wird und es eine Null gibt, die diesen Pol aufhebt, kann davon ausgegangen werden, dass diese Null die Stabilität des Systems beeinträchtigen kann?
@Alvaro, ich sage gerade deine 10 Wochen alte Frage. Sie können ein Zustandsvariablensystem haben, bei dem die Eingangs-Ausgangs-Übertragungsfunktion stabil aussieht (keine Pole in der rechten Halbebene), aber intern instabil ist, weil ein Pol, der in der rechten Halbebene existiert, durch eine Null aufgehoben wurde. Sie können ein System 3. Ordnung mit zwei stabilen Polen und einem instabilen Pol haben, der durch eine Null aufgehoben wird. Es gibt 3 Zustände in diesem System. Stecken Sie es in eine Black Box und es mag zunächst stabil erscheinen, aber intern geht ein Zustand im Inneren zur Hölle.
Es ist in Ordnung, Sie haben in den Kommentaren von der Antwort geantwortet! :) Danke gedacht

Antworten (4)

1) Nullen mit positivem Realteil ergeben einen negativen Phasenbeitrag, wodurch die Phasenreserve reduziert wird (was schlecht ist) und somit die Leistung des Systems begrenzt wird.

2) Zeitverzögerung im System kann auch als Null mit positivem Realteil angenähert werden (siehe Pade-Näherung erster Ordnung 1 ), ähnlicher Effekt wie voriger Punkt.

3) Sperreigenschaft von Nullen. Wenn Sie eine Übertragungsfunktion mit einer Null in der rechten Ebene und einem auf diese Null abgestimmten Eingang haben, dann ist der Ausgang für jede Zeit t auf 0. Beispiel: Geben Sie hier die Bildbeschreibung einBeweis für Sperreigenschaft von Nullen: 3

Ich mag diese Antwort, weil sie mehrere Effekte einer Null auflistet, anstatt sich auf einen zu konzentrieren (z. B. Polunterdrückung). Für mich ist die Sperreigenschaft (die Auswirkung auf das Amplitudenverhältnis bei bestimmten Frequenzen) wichtig und leicht verständlich, andere haben sie jedoch nicht erwähnt.

Es gibt Nullstellen, die sich im selben Bereich wie instabile Pole befinden können (also in der rechten Hälfte S -Ebene oder außerhalb des Einheitskreises in der z -Ebene). Aber wenn Nullen da draußen sind, führt das nicht dazu, dass das System instabil wird. Es führt jedoch dazu, dass es sich nicht um eine Mindestphase handelt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Also müssen sowohl Nullen als auch Pole in der linken Hälfte sein S -Ebene oder innerhalb des Einheitskreises in der z -Ebene, damit das System sowohl stabil als auch minimalphasig ist. Und ein Minimalphasensystem kann invertiert werden (was ein Vertauschen von Polen und Nullen verursacht) und bleibt weiterhin stabil. Dies ist bei einem Nicht-Minimalphasensystem nicht der Fall. Wenn man ein Nicht-Minimalphasensystem invertiert, hat das Ergebnis Pole im instabilen Bereich und ist instabil.

Nur als faire Warnung, die Anerkennung wird vielleicht nie kommen, aber von allen Antworten ist dies diejenige, die direkt auf die Frage von OP eingeht.
@robert Ich habe eine Frage. Wenn ein Pol auf der rechten Seite der s-Ebene platziert wird und es eine Null gibt, die diesen Pol aufhebt, kann davon ausgegangen werden, dass diese Null die Stabilität des Systems beeinträchtigen kann? –
@Alvaro, aus der Perspektive der Input-Output-Beziehung (stellen Sie sich vor, das System befindet sich in einer Blackbox und Sie können nur die Eingabe und Ausgabe sehen), macht die Aufhebung des Pols das System stabil. Vielleicht haben Sie die instabile Stange so abgebrochen, dass Sie sie durch einen Draht im Inneren ersetzt haben. aber es ist möglich, dass Ihr System intern zur Hölle fährt, wenn es eine Pol-Null-Aufhebung gibt und es ein instabiler Pol war, der aufgehoben wurde. Angenommen, Sie hätten einen instabilen Filter 1. Ordnung und darauf eine Null, die den Pol aufhebt. Es mag von außen gut aussehen, aber innen explodiert es.
@Alvaro, das wissen Ingenieure von Control Systems, wenn sie sich mit dem Zustandsvariablenmodell linearer, zeitinvarianter Systeme befassen.
Gibt es eine Referenz, auf die Sie für weitere Informationen und weitere Recherchen verweisen können?
über versteckte Pole, die in der Übertragungsfunktion mit Nullen abgebrochen werden, @ThatsRightJack ?
Ich bin im selben Boot wie der OP. Ich finde viele Informationen über Pole in Bezug auf Stabilität, aber ich möchte mehr über die Bedeutung von Nullen wissen. Ich denke, die Frage könnte zu allgemein sein, um hier eine einzige Antwort zu bekommen. Sie geben in Ihrer Antwort einige wertvolle Einblicke, aber ist das die einzige Bedeutung von Nullen? Anscheinend steckt mehr hinter der Geschichte? Es hört sich so an, als wüssten Sie vielleicht einige gute Referenzen, denen Sie nachgehen können?
@ThatsRightJack, ich nehme an, Oppenhiem und Schafer. aber es könnte eine gute Referenz online geben. Weißt du, was Allpassfilter sind? Weißt du, was Pol/Null-Auslöschung ist? Ein Nicht-Minimalphasenfilter kann als ein Minimalphasenfilter (mit der gleichen Amplitudenantwort) betrachtet werden, das mit einem Allpassfilter kaskadiert ist, dessen Pole einige der Nullen aufheben und Nullen in diesen "instabilen" Bereich (das ist der rechte Hälfte der S -Ebene oder außerhalb des Einheitskreises in der z -Ebene.

Alle Antworten sind richtig, aber ein Thema fehlt: Null auf der rechten Seite der s-Ebene kann zu einem Unterschwingen im Zeitverhalten des Systems führen, was in einigen Fällen sehr, sehr gefährlich sein kann.

Diesen Effekt finde ich erwähnenswert. Guter Artikel dazu hier: Nonminimum-Phase Zeros

Nullen sind sehr wichtig für das Systemverhalten. Sie beeinflussen die Stabilität und das Einschwingverhalten des Systems. Das Dokument, auf das verwiesen wird, ist ein guter Anfang.

Beim Umgang mit Übertragungsfunktionen ist es wichtig zu verstehen, dass wir normalerweise an der Stabilität eines Rückkopplungssystems mit geschlossenem Regelkreis interessiert sind. Damit das geschlossene Schleifensystem stabil ist, müssen die Pole in der linken Halbebene angeordnet sein. Die Nullstellen haben keine Bedeutung, da die Stabilität eines linearen Systems ausschließlich durch die Position der Pole bestimmt wird.

Beim Entwerfen eines Systems mit geschlossenem Regelkreis (dh einer Schaltung) erfolgt dies normalerweise durch Analysieren des Systems mit offenem Regelkreis. Denn für das Open-Loop-System ist es einfacher zu verstehen, wie die Schaltungsparameter das Systemverhalten beeinflussen werden.

Es kann gezeigt werden, dass die Position der Nullstellen des Open-Loop-Systems wichtig für die Stabilität des Closed-Loop-Systems sind. Wenn die Schleife langsam geschlossen wird, indem die Rückkopplung erhöht wird, während die Pole überwacht werden, kann man sehen, dass die Pole von den Nullen angezogen werden. Die Pole bewegen sich in Richtung der Nullstellen, und wenn Nullstellen in der rechten Halbebene vorhanden sind, ist die Tendenz, dass das System instabil wird, höher, da der Pol schließlich die Position der Nullstelle einnimmt. Ein solches System würde als Nicht-Minimalphasensystem bezeichnet, und sie sind ziemlich üblich.

Nullstellen beeinflussen weder die Stabilität noch das asymptotische Einschwingverhalten des Systems, es sei denn, sie heben gerade einen Pol auf. aber selbst wenn es eine Pol/Null-Auslöschung gibt, führt ein instabiler Pol, der durch eine Null aufgehoben wird, immer noch dazu, dass einige interne Zustände innerhalb des Systems zur Hölle gehen.
Nein, du liegst falsch. Bitte lesen Sie meine Antwort noch einmal und achten Sie darauf, dass es in der Diskussion um das Verhalten von Open Loop vs. Closed Loop geht.
Ich habe Ihre Antwort gelesen, bevor ich meinen Kommentar abgegeben habe. Ich bin nicht falsch. Ihr System mit dem Feedback ist ein anderes System. Systeme sind instabil, wenn sie Pole in der rechten Halbebene (s) oder außerhalb des Einheitskreises (z) haben. Systeme sind stabil, wenn alle ihre Pole in der linken Halbebene oder innerhalb des Einheitskreises liegen. das ist es. es gibt kein anderes Attribut, das die Stabilität bestimmt.
@robert bristow-johnson Nein, noch einmal. Wenn das System in einer Rückkopplungskonfiguration verwendet werden soll, müssen wir uns um die Nullstellen kümmern. Sie haben offensichtlich keinen Hintergrund im Schaltungsdesign, daher ist Ihnen dieses Konzept nicht vertraut.
Ich nehme an, die Diskrepanz zwischen beiden Positionen kommt von der Tatsache, dass Open-Loop- und Closed-Loop-Nullen gemischt sind.
Ich setze ein Kästchen um das, worauf sich @Mario bezieht. das ist das System. Es ist mir scheißegal, ob es Feedback gibt oder nicht. wenn es rückkopplung gibt (oder nicht), berücksichtige ich nur die positionen von polen und nullen des netzsystems. Alle Pole in der rechten Hälfte der S-Ebene, das System ist instabil. alle Pole in der linken Hälfte der S-Ebene, das System ist stabil. Stellung der Nullen ändert daran nichts.
Lineare Systemtheorie (oder "Signale und Systeme" oder wie auch immer Sie es nennen wollen) ist ein Thema, das außerhalb und unabhängig von Feedback existiert. Sie können ein LTI-System mit oder ohne Feedback haben. Die Konzepte bleiben gleich. Sie können auch Feedback mit oder ohne LTI-System innerhalb der Schleife haben. Dies kann ein Problem der Semantik sein, aber die Semantik von @Mario ist falsch und irreführend. sie führen andere in die falsche Semantik. LTI-Systemtheorie und Kontrollsysteme sind nicht dasselbe Thema.
Das PDF, auf das sich das OP bezieht, behandelt die „Systemstabilität“ in Abschnitt 1.3. Das ist die korrekte Semantik dessen, was das "System" ist, es erwähnt nichts über Rückkopplung, und die Stabilität hängt nur von den Positionen der Pole ab.
@robert bristow-johnson Sie haben vielleicht bemerkt, dass das übergeordnete Thema Elektrotechnik ist. Aus diesem Grund ist die obige Diskussion relevant. Ihre mangelnden Kenntnisse im Bereich des Schaltungsdesigns erschweren es Ihnen jedoch, den Wert dieses Konzepts einzuschätzen. Nichts für ungut! Gerade beim Schaltungsdesign verlassen wir uns stark auf Feedback, da die meisten Open-Loop-Systeme mit dem ultimativen Ziel analysiert werden, sie in eine Feedback-Konfiguration zu versetzen. Vielleicht können wir es dabei belassen. :-)
Sie haben keine verdammte Ahnung, was mein Wissen ist. Sie haben weder eine Ahnung, an wen Sie schreiben, noch die Semantik. Ich habe vor 40 Jahren analoges Schaltungsdesign gemacht und bin mit den Konzepten der negativen Rückkopplung und deren Auswirkungen auf die Positionen von Polen und Nullstellen bestens vertraut. aber Sie ändern die Semantik, wie sie bereits in den Lehrbüchern und in der Literatur definiert wurde. Wenn Sie Feedback anwenden und die Pole in der linken Halbebene sich in Richtung Nullen in der rechten Halbebene bewegen, wird das System nicht wegen der Position der Nullen, sondern wegen der Pole instabil.
aber Ihre Semantik ist falsch, sie wird im Lit nicht unterstützt und verleitet andere zu einer falschen Semantik. das sorgt für verwirrung.
Nein, ist es nicht. Einen schönen Tag noch.
Ich habe kurz auf das MIT-Dokument verwiesen, auf das sich das OP bezieht. hat Sie sogar auf die Abschnittsnummer hingewiesen. Möchten Sie Ihre Verwendung der Semantik mit einem Lehrbuch oder einer Online-Referenz unterstützen?
Gibt es eine Referenz, auf die Sie für weitere Informationen und weitere Recherchen verweisen können?
Bedeutung der Nullstellen in der Übertragungsfunktion
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