Bestimmen Sie den Wert einer Konstanten, für die das System marginal stabil ist

Ich denke, der einfachste Weg, um sicherzustellen, dass die Wurzeln richtig positioniert sind, ist:

Ein Polynom mit einer reellen Wurzel und 2 imaginären Wurzeln sieht im Allgemeinen wie folgt aus:

$$A\cdot (s+a)\cdot (s^2 + b)$$

Dieser muss zum Nenner passen, also

$$\begin{align} 10\cdot (s + a)\cdot (s^2 + b) &= 10\cdot s^3 + (10a) \cdot s^2 + (10b)\cdot s + (10\cdot a\cdot b) \\ &= 10\cdot s^3 + 1.1 \cdot s^2 + 0.01\cdot s + 2K \end{align}$$

Daraus folgt unmittelbar das

$$\begin{align} a &= \frac{1.1}{10} = 0.11\\ b &= \frac{0.01}{10} = 0.001\\ K &= \frac{10\cdot a\cdot b}{2} = \frac{0.11\cdot 0.001}{2} = 55\cdot 10^{-5} \end{align}$$

Im Falle eines CLTF-Nenners 3. Ordnung:$\small as^3+bs^2+cs+d$, kritische Stabilität wird erreicht, wenn$\small bc=ad$. Instabilität tritt auf, wenn$\small bc<ad$; und ein stabiles System hat$\small bc>ad$.

Bei kritischer Stabilität muss der Nenner auf faktorisiert werden$\small a(s^2+\omega^2)(s+\alpha )$, da es einen stetigen (nicht abklingenden) sinusförmigen Term geben muss. Durch Inspektion ist die Frequenz dieser Sinuskurve:$\small \omega= \sqrt{\frac{c}{a}}\:$Rad/Sek.

Für Ihr System$\small 20K=1.1 \times 10^{-2}$, geben$\small K=5.5 \times 10^{-4}$