Berechnen Sie die Divergenz des Vektors in krummlinigen Koordinaten mithilfe der Metrik

In einem gebogenen ( 3 + 1 ) dimensionale Raumzeit mit metrischen Komponenten G μ v , die kovariante Ableitung von a 4 Vektor v = ( v 0 , v → ) wird von gegeben

∇ μ   v μ = 1 − G ∂ μ ( − G   v μ ) .

Ich gehe davon aus, dass diese Beziehung auch verwendet werden kann, um den Ausdruck für die Divergenz von abzuleiten 3 Vektor v → in einer ebenen räumlichen Hyperfläche in einem krummlinigen Koordinatensystem, z. die zylindrischen Polarkoordinaten ( R , ϕ , z ) . Die müssen wir dann ersetzen − G   von G   da die Metrik der räumlichen Hyperfläche eine positive Determinante hat. Das wird dann geben

∇ → ⋅ v → = ∇ ich v ich = 1 R ∂ R ( R   v R ) + ∂ ϕ v ϕ + ∂ z v z .

Der eigentliche Ausdruck für die Divergenz von a 3 Vektor in zylindrischen Polarkoordinaten ist

∇ → ⋅ v → = 1 R ∂ R ( R   v R ) + 1 R ∂ ϕ v ϕ + ∂ z v z .
Können Sie bitte darauf hinweisen und erklären, wo ich falsch liege?

Antworten (1)

Beide Identitäten sind korrekt. Der Punkt ist, dass sie sich auf unterschiedliche Basen beziehen. Ersteres verwendet die Zerlegung,

v → = v R ∂ R + v θ ∂ θ + v z ∂ z ,
Letzteres verwendet die Zerlegung,
v → = v ' R e → R + v ' θ e → θ + v ' z e → z ,
Wo e → ich = 1 G ich ich ∂ X ich Einheitsvektoren sind, so dass v ' ich = G ich ich v ich (Es gibt keine Summe über den wiederholten Index ich ).

Für das OP ist dies ein häufiges Problem beim Übergang von der Vektorrechnung zur Differentialgeometrie (wie sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wird). Die Vektorrechnung wird fast immer unter Verwendung von Einheitsvektoren als Basis gelehrt, aber die natürlichen Basisvektoren, die einem Satz von Koordinaten entsprechen, sind typischerweise keine Einheiten.
Vektorrechnung ist eine dumme Sache zu lehren, da man das meiste davon verlernen muss ...
Vielen Dank für die Klarstellung. Also im ersten Fall ∂ X ich sind die Koordinatenbasisvektoren. Aber mir ist nicht klar, woher man wissen soll, dass die Einheitsvektoren in der zweiten Basis gegeben sind durch e → ich = 1 G ich ich ∂ X ich .
Hat man G ( 1 G ich ich ∂ ich , 1 G ich ich ∂ ich ) = 1 G ich ich G ( ∂ ich , ∂ ich ) = 1 G ich ich G ich ich = 1 . Deshalb 1 G ich ich ∂ ich ist ein Einheitsvektor, der die Koordinate tangiert X ich . Folglich, wenn ich = R es stimmt überein mit R ^ = e → R , Wenn ich = θ es stimmt überein mit θ ^ = e → θ , Wenn ich = z es stimmt überein mit θ ^ = e → z .
Entschuldigung, ich habe sphärische Koordinaten verwendet, aber Sie haben sich in meiner Antwort auf zylindrische Koordinaten bezogen ϕ sollte ersetzt werden für z . Ich habe es korrigiert.
Könnten Sie sich bitte diese Frage von mir auf math.stackexchange.com/q/4092768/333392 ansehen . Ich denke, mein Zweifel ist fast derselbe, den Sie hier geantwortet haben. Ich denke, die Antwort auf meine erste Frage lautet: Das liegt daran, dass die Transformation orthogonal ist. Für die zweite Frage dort ist die Antwort meiner Meinung nach nur, dass sie die Transformationsmatrix unter Berücksichtigung der Einheitslänge des Basisvektors schreiben. Ich denke, ich liege richtig, wollte aber nur, dass ein Experte bestätigt, ob das, was ich oben sage, richtig ist oder nicht. Wäre echt toll, wenn du das bestätigen könntest
Berechnen Sie die Divergenz des Vektors in krummlinigen Koordinaten mithilfe der Metrik
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