Berechnung der Arbeit, die ein Teilchen verrichtet, das einer Kraft in Polarkoordinaten ausgesetzt ist

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Oben ist die Quelle der Unsicherheit, die ich beim Verständnis der Bewegung dieses speziellen Teilchens habe. Ich überlege (a) hier, und hier ist meine Überlegung:

  • Die Bewegung des Teilchens ist für mich schwer zu verstehen. Radial scheint es zu ruckeln, da die Kraft mit dem Radius zunimmt. Senkrecht zu R ^ , es scheint je nach seiner Position eine Kraft darauf zu haben. Bei θ = π / 2 , zum Beispiel, es wird keine haben θ ^ gerichtete Kraft darauf, aber wie fühlt es dann eine Kraft in der Richtung von θ ^ nachher? Kommt es darauf an π / 2 und dort bleiben?

  • Unabhängig davon, wie es sich bewegt, kann die geleistete Arbeit berechnet werden, indem das Punktprodukt der Kraft und eines beliebigen Positionsvektors berücksichtigt wird D R → . Nun, da in Polar R → muss nur mit ausgedrückt werden R ^ in der Gleichung R → = R   R ^ , wäre mein Instinkt zu repräsentieren D R → als D R → = D R R ^ . Meine andere Idee ist jedoch die Verwendung D R → = D R R ^ + D θ θ ^ . Dies würde das Punktprodukt auch einfacher machen, da ich die Arbeit auflösen kann θ ^ aber ich habe das Gefühl, dass dies bedeuten würde R → = R R ^ + θ θ ^ was für mich keinen Sinn ergibt, da ich noch nie einen so beschriebenen Positionsvektor in Polar gesehen habe.

Um die beim Umzug geleistete Arbeit zu berechnen ( 0 , 0 ) Zu ( 1 , π / 4 ) , es wird Arbeitsbeiträge geben R ^ Und θ ^ . So:

W = ∫ 0 1 A   R   D R + ∫ 0 π / 4 A cos ⁡ θ   D θ

Unabhängig von Pfad, Bewegung aus ( 0 , 0 Zu ( 1 , π / 4 ) sollte diesen Arbeitsbeitrag beinhalten. Für (a) interpretiere ich „den Pfad θ = π / 4 " als R erstreckt sich von 0 Zu ∞ im Winkel π / 4 vom Ursprung, als R ist unbegrenzt mit θ = π / 4 . Deswegen, θ ist in diesem Pfad fixiert, also beschäftigen wir uns nur mit diesem Integral. Dies führt dazu, dass wir unsere Antwort als haben A / 2 . Wenn dies jedoch tatsächlich richtig ist, haben die in meinen Aufzählungspunkten hervorgehobenen Fragen immer noch keine gute Antwort von mir, daher wäre es hilfreich, sie anzusprechen.

Antworten (1)

Betrachten wir hier den Fall (a). In diesem Fall bleibt der Winkel bei π 4 , seit bei ( 0 , 0 ) , der Winkel ist nicht definiert. Jetzt,

  • Eine vom Radius abhängige Kraft ist natürlich. Es ruckelt zwar radial, aber das ist okay, da das ständig passiert. Von dieser Art ist beispielsweise die Kraft durch eine Feder.
  • Der Positionsvektor ist in der Tat R → = R R ^ , Aber R ^ ist nicht in Polarkoordinaten festgelegt, sondern hängt davon ab, wo Sie sich befinden, dh R ^ = R ^ ( R , θ ) . In der Tat, was Sie bekommen, ist,
    D R → = R ^ D R + θ ^ ( R D θ )
    Sie können im Wesentlichen in jedes Buch schauen, das sich mit krummlinigen Koordinatensystemen befasst, und sie würden Ihnen den Ausdruck für den infinitesimalen Verschiebungsvektor geben D R → .
Ah ja, das ist die Geschwindigkeitsgleichung nur ohne die D T Bedingungen.
Absolut. Sie können dies auch herausfinden, indem Sie sich eine kleine Verschiebung ansehen und wie sich diese ändert R Und θ dazu beitragen.
Ich kann das definitiv sehen, aber was mich ein bisschen verwirrt, ist das Wie R → = R R ^ reicht für eine Positionsvektorgleichung aus, nicht aber für eine Positionsänderung. Wie, ich weiß R ^ variiert mit θ aber wie beschreibt es dann alles, was wir für Position brauchen, aber wir jetzt brauchen R ^ UND θ ^ für D R ? Die Gleichungen selbst ergeben für mich einen intuitiven Sinn, aber ich kann diese Frage trotzdem nicht sehr gut beantworten.
Wenn du schreibst R → = R R ^ , Sie drücken im Grunde den Positionsvektor in Bezug auf den Ursprung aus, und R ^ kümmert sich um den Winkel, während z D R → , müssen Sie Änderungen in beiden angeben.
Berechnung der Arbeit, die ein Teilchen verrichtet, das einer Kraft in Polarkoordinaten ausgesetzt ist
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