Berechnung der Entladung von Ultrakondensatoren

Wenn wir den Aufbau mit einem Kondensator parallel zur Last modellieren und lassen$i$sei der Strom in die Last und$v$die Spannung über den beiden, die Schaltungsgleichungen sind:

$$\left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] v i &= P \end{aligned} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] i &= \dfrac P v \end{aligned} \right.$$

Wobei P der konstante Leistungspegel ist. Setzt man beides zusammen, erhält man diese Differentialgleichung:

$$C \dfrac {dv} {dt} = - \dfrac P v \qquad \Leftrightarrow \qquad v dv = - \dfrac P C dt \qquad \Leftrightarrow \qquad 2 v dv = -2 \dfrac P C dt$$

Wenn wir ab dem Zeitpunkt 0 integrieren, wo wir eine Spannung annehmen$v_0$über der Kappe ist, erhalten wir:

$$\int_{v_0}^{v} {2 v dv} = \int_0^t {-2 \dfrac P C dt} \qquad \Leftrightarrow \qquad v^2 - v_0^2 = -2 \dfrac P C t$$

Daraus lässt sich leicht eine Formel für die Spannung und die Zeit ziehen:

$$t = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2) \qquad v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{2P}{C} t}$$

Wenn wir den ESR oder andere Schaltungselemente berücksichtigen wollen, wird die Gleichung schwieriger zu lösen, aber für eine erste Vermutung sollte sie gut genug sein.

Hier ist eine LTspice-Simulation für das System. Beachten Sie, dass die Last durch eine Verhaltensstromquelle modelliert wurde, die sich nur so lange als Last mit konstanter Leistung verhält, bis ihre Spannung Vmin erreicht, und dann zu einem konstanten Widerstandsverhalten zurückkehrt. Dies ist erforderlich, um eine numerische Instabilität in der Simulation zu vermeiden, da eine echte konstante Stromquelle kein physisches Gerät ist (bei 0 Volt zieht es unendlich viele Ampere).

Und hier sind die Ergebnisse. Sie können die Bestätigung der oben theoretisch vorhergesagten zeitumgekehrten Quadratwurzelform der Spannung Vx feststellen. Die Formen der Signale ändern sich zu den üblichen exponentiell abfallenden Spannungen und Strömen, wenn die Last in den Modus mit konstantem Widerstand umschaltet.

Hier ist ein vergrößertes Diagramm der Spannung, das den gesuchten Zeitwert anzeigt:

Was mit dem mit der obigen Formel berechneten Wert übereinstimmt:

$$t_{shutdown} = t(v)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {1000F}{2 \times 280W} \left[(15V)^2 - (10V)^2\right] = 223.2 s$$

Eine theoretische Antwort für eine Hausaufgabenaufgabe wäre, die Energie im Kondensator zu Beginn und die Energie im Kondensator, wenn das Gerät nicht mehr funktioniert (10 V, vermutlich) zu nehmen und die beiden zu subtrahieren.

$\Delta$U =$(\frac{CV_i^2}{2}$-$\frac{CV_f^2}{2})$

Da Sie den Energieverbrauch (280 J/s) kennen, können Sie die Laufzeit einfach berechnen.