Konstante Leistungsentladung eines nicht idealen Kondensators

Mein Arbeitgeber verkauft Aufwärtswandler, um Motorantriebe bei Stromausfall zu halten. Diese Aufwärtswandler werden von Kondensatorbänken gespeist. Um diese Bänke richtig zu dimensionieren, müssen wir ihre Spannung, Kapazität und ihren ESR berücksichtigen, um sicherzustellen, dass genügend Energie von den Kondensatoren verfügbar ist, um die Laufwerke für eine bestimmte Zeit mit einer bestimmten Leistung zu halten . Im Moment machen wir das mit einer Näherungsmethode, aber es wäre schön, eine genauere Gleichung zu haben.

Wir gehen davon aus, dass ESR, Kapazität und Lastleistung konstant sind.

ich : Strom P : Energie R C : BSG C : Kapazität t : Zeit v : Kondensatorspannung Standardkondensatorgleichung: ich ( t ) = C v ' ( t ) Leistung aus der Kappe ist gleich Leistung in den ESR plus Leistung in die Last: v ( t ) ich ( t ) = P + R C ich 2 ( t ) Ersatz: C v ( t ) v ' ( t ) = P + R C C 2 ( v ' ( t ) ) 2

Wenn ich richtig liege, erhalte ich eine nichtlineare Differentialgleichung, die mich weit über meine mathematische Komfortzone hinaus bringt. Wenn ich das richtig verstehe, wäre das Lösen einer neuen nichtlinearen Differentialgleichung ein bedeutender Beitrag zum Bereich des mathematischen Wissens. In Anbetracht dessen werde ich das wahrscheinlich nicht alleine lösen.

Kennt jemand gute Lösungsansätze für V(t)? Weiß jemand, ob diese Gleichung schon gelöst wurde? Verstehe ich das Problem möglicherweise falsch? Oder sollte ich das in den Math Stack Exchange verschieben?

Wie genau müssen Sie sein? Die Menge an Energie, die an ESR verloren geht, variiert nicht linear mit der Versorgungsspannung, aber man kann leicht Ober- und Untergrenzen für die Energiemenge berechnen, die von der Kappe geerntet werden kann, wenn sie von einer Spannung auf eine niedrigere Spannung fällt; Je kleiner der fragliche Abfall ist, desto enger werden die Grenzen sein. Wenn also die Obergrenze bei 50 Volt beginnt, könnte man Ober- und Untergrenzen dafür berechnen, wie viel Energie zurückgewonnen würde, wenn sie von 50 auf 40 Volt fällt. Wenn der Unterschied zwischen oberer und unterer Grenze zu groß ist, könnte man die Energie berechnen ...
...wie es von 50 auf 45 und dann von 45 auf 40 fällt. Wenn die Lücke bei diesen Schrittweiten immer noch zu groß ist, unterteilen Sie weiter. Wenn alle Parameter genau bekannt wären, müsste man wahrscheinlich nicht zu viel unterteilen, um Ober- und Untergrenzen innerhalb von etwa 20 % voneinander zu erhalten. Angesichts einiger Ungenauigkeiten in den Parametern wäre es wahrscheinlich nicht sinnvoll, viel darüber hinauszugehen.
Wirklich, ich nehme an, wir haben drei Fragen. Ist das lösbar? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, was ist der nächstbeste Ansatz? Wir suchen nach einer genauen Lösung für die Gleichung, aber wenn es keine gibt, könnte das, was Sie beschreiben, ein guter Backup-Plan sein.
Sie könnten versuchen, Ihre Schaltung als idealen Kondensator, ESR-Widerstand und Lastimpedanz in Reihe zu modellieren. Durch Auflösen nach den Knotenspannungen und dem Stromfluss (die alle linear unabhängig sein sollten) können Sie die ESR-Verluste gegenüber dem Stromverbrauch der Last finden. Der einzige Verfechter wäre das Schätzen Z_L, obwohl ich denke, dass Sie in der Lage sein sollten, es herauszufinden, indem Sie anhand der Nennleistung und des akzeptablen Spannungsabfalls, den Sie von Ihrem Design erwarten, zurückrechnen.
@Remiel: Es ist üblich, reale Kondensatoren als eine Kombination aus idealen Kondensatoren, Widerständen und Induktivitäten zu modellieren, und ein solches Modell wird der Realität näher kommen als eines, das einfach erwartet, dass sich eine echte Kappe wie eine ideale verhält, aber die " ideale nicht ideale Obergrenze" ist immer noch nur eine Annäherung. In der realen Welt können sowohl ESR als auch Kapazität auf seltsame nichtlineare Weise mit der Spannung variieren. Eine Gleichung, die das Verhalten eines Modells genau beschreibt, ist bei der Vorhersage des tatsächlichen Verhaltens einer realen Schaltung möglicherweise nicht genauer als eine zeitdiskrete Simulation.
@supercat: kein Argument, welche Gleichung wir auch immer finden mögen, ist immer noch eine Annäherung. Aber es wird wahrscheinlich nah genug für unsere Zwecke sein und etwas einfacher zu verteilen (an Kunden, Integratoren usw.) als unsere gegenwärtige numerische Annäherungstabelle. Außerdem ist es manchmal gut, das Problem zu verstehen, auch wenn die Lösung möglicherweise nicht praktikabel ist. :-)
Genau dafür ist Wolfram Alpha da! Versuch es
Ich frage mich, ob @StephenCollings uns einen Rückblick auf seine Lösungen geben kann. Ich denke, es wäre billiger, Lithiumzellen mit viel weniger $ / Joule gespeicherter Energie und niedrigem ESR als die SuperCap zu verwenden, aber alles hängt von ΔV / V ab
Hängt von Ihren Zielen ab. Für einen Hochspannungsstrang mit relativ geringem Energiebedarf kann der kleinstmögliche Batteriestrang weitaus mehr Energie liefern als erforderlich. Caps bieten eine feinere Granularität des Energiebedarfs

Antworten (1)

Die Gleichungen wurden hier von anderen gelöst . Sofern ich nicht irgendwo ein Zeichen übersehen habe, gibt diese Formel die Zeit an, die eine Kappe benötigt, um die interne Spannung V ausgehend von der Spannung zu erreichen v 0 , mit einem gegebenen ESR und einer gegebenen Kapazität und einer festen Leistungsentladung.

t ( v ) = C 4 P ( v 0 2 − v 2 + v 0 v 0 2 − 4 P R C − v v 2 − 4 P R C ) + C R C ( ln ⁡ ( v + v 2 − 4 P R C ) − ln ⁡ ( v 0 + v 0 2 − 4 P R C ) )

Beachten Sie, dass, da V die interne, unbelastete Spannung der Kappe "hinter" dem ESR ist , wir die Substitution verwenden müssen , um die Zeit zu finden, die die Kappe benötigt, um eine bestimmte Klemmenspannung zu erreichen , während sie geladen ist :

v = v m ich n + P R C v m ich n
wo v m ich n die minimal wünschenswerte Klemmenspannung ist.

Diese Berechnungen scheinen gut mit unseren numerischen Schätzmethoden übereinzustimmen.

Konstante Leistungsentladung eines nicht idealen Kondensators
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