Berechnung der Schwerkraft unter Berücksichtigung der Änderung der Schwerkraft

Dies ist ein Problem, das mich seit ein paar Wochen beschäftigt, und ich kann es anscheinend nicht in meinen Kopf fassen und es verstehen.

Nehmen wir an, wir haben einen Planeten mit einer Masse von M . Wir haben auch ein Objekt mit relativ geringer Masse (so klein, dass sein Gravitationsfeld den Planeten nicht beeinflussen würde), und wir wissen, dass es sich zum Zeitpunkt 0 an der Position befindet H .

Wenn wir die Erdbeschleunigung kennen G , können wir die Position berechnen j zum Zeitpunkt T :

j = H − G T 2 2 .

Und wir wissen, dass die Erdbeschleunigung berechnet werden könnte:

G = G M j 2 .

Aber da die Beschleunigung von der Position des Objekts relativ zum Planeten abhängt und die Position des Objekts von der Beschleunigung abhängt, würde dies offensichtlich bedeuten, dass die erste Formel nicht funktioniert, wenn wir mit einer so großen Verschiebung arbeiten, dass sie würde die Beschleunigung stark verändern.

Meine Frage lautet also im Wesentlichen: Welche Formel können wir verwenden, um die Position eines Objekts unter Berücksichtigung der Änderung der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft zu berechnen?

Antworten (3)

Ich denke, dass Ihr Paradoxon aus der ersten Gleichung resultiert, die eine konstante Beschleunigung annimmt , was nicht der Fall ist, wenn Sie die Schwerkraft nach dem Gesetz des umgekehrten Quadrats der universellen Gravitation berechnen, anstatt nur eine Konstante anzunehmen g .

Welche Formel Sie verwenden könnten , um die Position Ihres Objekts unter Berücksichtigung der universellen Gravitation zu berechnen ... sagen wir einfach, die Berechnungen, die ich ausprobiert habe, waren nicht allzu hübsch.

Hier ist das Problem: Da Sie die Formeln für Kinematiken, die eine konstante Beschleunigung annehmen, nicht mehr verwenden können, müssen Sie zu Newtons zweitem Gesetz zurückkehren und das Gesetz der universellen Gravitation direkt einsetzen (ANMERKUNG: In den folgenden Gleichungen nenne ich den Abstand zwischen die beiden Körper r anstelle von y , und ich schreibe, dass Ihre "kleine" Masse Masse M hat ... aber keine Sorge, da sie tatsächlich aufgehoben wird!):

− G M M / R 2 = M A R

Damit erhalten Sie die folgende nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

R ¨ + G M / R 2 = 0
Wolfram Alpha hat dafür eine analytische Lösung gefunden, die aber umständlich bis zur Unbrauchbarkeit ist . Ich denke, das ist die Formel, nach der Sie suchen (abzüglich der Notwendigkeit, die erforderlichen Konstanten einzuschließen) ... wie ich schon sagte, es ist nicht allzu hübsch!

Ich verstehe einen Teil dessen, worauf Sie hinauswollen, aber ich habe immer noch ein kleines Problem damit, den Teil über Differentialgleichungen zu verstehen - wahrscheinlich, weil das etwas über meine mathematischen Kenntnisse hinausgeht. Könntest du mir bitte erklären, wie du auf diese Gleichung gekommen bist?
Lieber @Frxstrem, Differentialgleichungen sind Gleichungen für ganze Funktionen R ( T ) die sich auf die sogenannten "Derivate" beziehen. Die Gleichung mit R ¨ ist eigentlich der richtige Weg, um Ihre Gleichung für die Beschleunigung zu schreiben. Ich denke, wenn Sie überhaupt nicht wissen, was Differentialgleichungen sind, ist dieser Thread auf Physics SE nicht der richtige Ort, um diese ziemlich umfangreiche Unterdisziplin der Mathematik zu lernen. Steven: Ich stimme nicht zu, dass die analytische Lösung des Kepler-Problems usw. nutzlos und unendlich erfunden ist; immerhin beherrschte Newton es, Keplers Gesetze zu erklären, der erste große Erfolg seiner Theorie.
Lassen Sie mich Stevens Lektion mit anderen Worten sagen. Die erste Gleichung von Ihnen, mit G T 2 , ist nur OK, wenn die Beschleunigung G konstant ist, dh im "einheitlichen" Gravitationsfeld. Beispielsweise sind auf der Erdoberfläche das Feld und die Beschleunigung ungefähr gleichförmig. Die Genauigkeit ist so hoch, dass wir nicht darüber reden müssen G in allen alltäglichen Anwendungen höhenabhängig sein. Jedoch, G hängt davon ab R und damit weiter T , So j = G T 2 / 2 für ein festes G ist nicht mehr die richtige Beschreibung. Stattdessen muss sie durch die Lösung der Differentialgleichung ersetzt werden, G → j ¨ .
@LubošMotl Das macht ziemlich viel Sinn, obwohl ich denke, ich muss Differentialgleichungen lernen, um zu verstehen, was das alles eigentlich bedeutet.
@LubošMotl: Ich habe gerade deine Antwort gesehen (in Bezug auf das Kepler/Newton-Beispiel). Vielen Dank für die Korrektur: Anscheinend bin ich dem Trugschluss zum Opfer gefallen, mathematische Bequemlichkeit mit Nützlichkeit zu verwechseln!

Sie haben Recht, dass die "normale" Formel j = H − G T 2 / 2 funktioniert nicht, wenn sich die Gravitationsbeschleunigung ändert, also brauchen Sie eine andere Formel. Die mathematischen Ausdrücke sind allerdings etwas hässlich. Steven hat den Grundstein dafür gelegt, aber ich werde Sie auf eine frühere Antwort von mir verweisen, in der ich die Berechnung durchgeführt habe . Das Ergebnis kommt heraus

T F − T ich = 1 2 G ( M 1 + M 2 ) ( R ich R F ( R ich − R F ) + R ich 3 / 2 cos − 1 ⁡ R F R ich )

R ich Und T ich sind die Anfangsposition (Höhe) bzw. Zeit und R F Und T F sind die entsprechenden Endwerte. Diese Gleichung ist ein wenig "rückwärts" in dem Sinne, dass sie die Zeit als Funktion der Position ausdrückt, anstatt die Position als Funktion der Zeit auszudrücken. Sie können es umkehren, um die Position als Funktion der Zeit auszudrücken, aber Sie werden keine einzige nette Funktion dafür finden. Sie müssten die Umkehrung numerisch vornehmen, indem Sie es an einen Computer anschließen oder eine Potenzreihe oder ähnliches berechnen.

Wikipedia hat eine Formel für die Entfernung, die ein Objekt in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat, oder die Umkehrung (Zeit, die benötigt wird, um eine bestimmte Entfernung zu fallen): https://en.wikipedia.org/wiki/Free_fall#Inverse-square_law_gravitational_field

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