Berechnung der spezifischen Umlaufenergie, der großen Halbachse und der Umlaufzeit eines umlaufenden Körpers

Ja, Sie können alle diese Größen ableiten. Die spezifische Orbitalenergie$E$Ist

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a}, \end{align}$$ Wo $\mu = GM^3/(M+m)^2$, Und $a$ist die große Halbachse. Die Umlaufzeit folgt aus Keplers drittem Gesetz: $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu}.$$ Wenn Sie auch die Radialgeschwindigkeit kennen $v_r$und die Tangentialgeschwindigkeit $v_T$getrennt bei $r$, dann kannst du auch den spezifischen relativen Drehimpuls berechnen $h$und die orbitale Exzentrizität $e$: $$\begin{align} h^2 &= r^2\,v^2_{T} = \mu a(1-e^2). \end{align}$$

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Mehrere Leute haben versucht, sich zu ändern$\mu$hinein$\mu = G(M+m)$. Das ist falsch, denn das ist die Formel für Relativbewegung statt Bewegung in Bezug auf den Massenmittelpunkt . Die Bewegungsgleichungen des Zweikörperproblems lauten

$$\begin{align} m\ddot{\boldsymbol{r}}_m &= - \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ M\ddot{\boldsymbol{r}}_M &= \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ \end{align}$$ Wo $\boldsymbol{r}_m$Und $\boldsymbol{r}_M$sind die Positionen des kleinen und großen Körpers in Bezug auf den Massenmittelpunkt. Was wir wollen, ist die Bewegung des kleinen Körpers in Begriffen von auszudrücken $\boldsymbol{r}_m$. Per Definition bleibt die Lage des Massenmittelpunkts konstant, $$m\boldsymbol{r}_m + M\boldsymbol{r}_M = \boldsymbol{0},$$ so dass $$\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M = \frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m.$$ Deshalb, $$m\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -GmM\frac{M^3}{(M+m)^3r^3_m}\left(\frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m\right),$$ oder $$\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -\frac{\mu}{r^3_m}\boldsymbol{r}_m,$$ mit $\mu = GM^3/(M+m)^2$. In meiner Antwort $r = r_m$. Ich hoffe, das klärt die Dinge auf.