Es ist nicht klar, auf welcher Ebene Sie dies simulieren möchten.

Feinkörnig

Wenn Sie dies auf einer sehr feinkörnigen Ebene tun möchten, müssen Sie nur die Newtonsche Mechanik und die Schwerkraft simulieren, und es sollte aus sich selbst heraus entstehen, wenn Sie eine Flugbahn eingerichtet haben.

Das bedeutet, dass Sie die Gravitationskraft berechnen

$$\vec F = - G \frac{Mm}{r^3} \, \vec r \,,$$ Wo $\vec F$ist der Kraftvektor, $G$ist die Gravitationskonstante, $M$ist die Masse eines Objekts (z. B. des Planeten) und $m$ist die Masse des Satelliten oder Raumschiffs. $r$ist der Abstand zwischen den beiden Objekten und $\vec r$ist dasselbe wie ein Vektor. Mit meiner Vorzeichenkonvention ist der Vektor $\vec r$wird in der Richtung als die Kraft entgegengesetzt sein $\vec F$. Das bedeutet, dass Sie sich entscheiden müssen $\vec r = \vec x_1 - \vec x_2$so dass die Kraft anziehend ist.

Dann verwenden Sie die Newtonsche Mechanik, die sich in Ihrem Fall hier auf einfach reduziert$\vec F = m \vec a$. Hier$\vec a$ist der Beschleunigungsvektor. Beschleunigung ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Einer kann schreiben$\vec a = \mathrm d \vec v / \mathrm d t$Wo$\vec v$ist die Geschwindigkeit und$t$die Zeit. Ohne die Ableitung könnte man es schreiben als$\vec a = \Delta \vec v / \Delta t$.

Von dort aus stellen Sie einige Anfangsbedingungen (Position, Geschwindigkeit) für Ihren Planeten und Satelliten ein. Sie können einen ausgefallenen ODE-Löser wie Runge-Kutta verwenden. Für den Anfang reicht das einfache Euler-Verfahren. Dort verwenden Sie$\Delta \vec x = \vec v \cdot \Delta t$Und$\Delta \vec v = \vec a \cdot \Delta t$. Mit der Kraft haben Sie

$$\Delta \vec x = \vec v \cdot \Delta t \qquad\text{and}\qquad \Delta \vec v = \frac{\vec F}{m} \cdot \Delta t$$ von einem Zeitschritt zum nächsten zu gelangen. So haben Sie bei jedem Schritt eine Position $\vec x$und eine Geschwindigkeit $\vec v$. Sie berechnen die Kraft $\vec F$und kann Ihr System um einen Zeitschritt weiterentwickeln $\Delta t$.

Grobkörnig

Man kann das Schleudermanöver auch als elastischen Stoß betrachten . Vor und nach dem Stoß müssen der Gesamtimpuls und die gesamte kinetische Energie erhalten bleiben. Damit können Sie die neuen Geschwindigkeiten nach der Kollision berechnen. Die des Planeten wird sich wahrscheinlich überhaupt nicht ändern, wenn er viel schwerer als der Satellit ist. Dies ist in einer Dimension mit einer der einfacheren Gleichungen auf der Wikipedia-Seite möglich.

Es in zwei Dimensionen zu tun, erfordert etwas mehr Arbeit, da Sie einen Kollisionswinkel haben. Der Fall in drei Dimensionen kann auf eine zweidimensionale Ebene reduziert werden. Woran das liegt, muss man selbst herausfinden.

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Ich hoffe, dies hilft Ihnen ein wenig beim Einstieg oder beim Verfeinern oder Hinterfragen.

Nun, das "Objekt" hat zu jeder Zeit zwei Arten von Energie: kinetisches (Bewegung) und Gravitationspotential. Diese Berechnung, die Sie durchführen möchten, ist am einfachsten, wenn es nur einen signifikanten Körper wie die Sonne gibt. In diesem Fall beträgt Ihre KE (kinetische Energie) zu Beginn 0,5 mv ² und Ihre Gravitationsenergie U _g = -Gm ₁ m ₂ /r.

Nun kann ein Objekt die Anziehungskraft eines anderen Objekts niemals vollständig verlassen. aber es wird schließlich vernachlässigbar. An diesem Punkt gibt die Gravitationspotentialformel Null zurück. Potenzielle Energie ist relativ , was bedeutet, dass es nicht darauf ankommt, was die Formel angibt, sondern auf die Differenz zwischen dem PE zweier Punkte. (Ich hoffe wirklich, dass ich das gut genug formuliert habe) Also ist der Unterschied zwischen dem PE eines bestimmten Punktes und ... unendlich, wo die Schwerkraft Null ist (oder gerade weit genug entfernt, dass sie vernachlässigbar ist), gleich dem Wert von der Formel zurückgegeben. Stecken Sie also Ihre beiden Massen und die Startentfernung zusammen und erhalten Sie, wie viel kinetische Energie in potenzielle umgewandelt wird. Berechnen Sie nun die kinetische Startenergie (0,5mv ²) und das Potential davon abziehen.

Wir sind also auf der Zielgeraden. Nur Mathe von hier. K _f = K _i - U _gi

wobei K _f die kinetische Endenergie ist, K _i die anfängliche Kinetik ist und U _gi das anfängliche Potential ist.

Also, 0,5m ₂ v _f ² = 0,5m ₂ v _i ² - Gm ₁ m ₂ /r

0,5 m ₂ v _f ² = 0,5 m ₂ v _ich ² - Gm ₁ m ₂ /r

0,5 V _f ² = 0,5 V _i ² – Gm ₁ /r

v _f ² = v _i ² – 2 Gm ₁ /r

vf ₌ √v _ich ² - 2Gm ₁ /r

Da ist es. Die Endgeschwindigkeit ist gleich der Quadratwurzel der Anfangsgeschwindigkeit zum Quadrat minus 2 Gm/r, wobei m die Masse des Planeten oder der Sonne ist, der wir entkommen, r die Entfernung davon ist, in der wir gestartet sind, und G natürlich die Gravitation ist Konstante.