Berechnung des Potentials aus dem E-Feld

Ich stelle fest, dass ich oft stolpere, wenn ich frage, ob ich etwas mathematisch machen kann oder nicht, und keine zufriedenstellende Antwort finden kann. Dies ist leider eine dieser Zeiten.

Mir wurde gesagt:

Ein einheitliches elektrisches Feld, E → = E 0 X ^ . Wie groß ist das Potenzial, ausgedrückt in Zylinderkoordinaten, v ( S , ϕ , z ) ?

Meine erste Vorgehensweise ist:

Wir wissen...

| R | = X 2 + j 2 + z 2 = X 2 = X = E 0
bräunen − 1 ⁡ j X = θ = 0
z = z = 0

Das elektrische Feld hat also nur eine Komponente in der R ^ Richtung.

Nun, das wissen wir E → = − ∇ v ( R , ϕ , z ) = − ∂ v R − 1 R ∂ v θ − ∂ v z

Also denke ich: "Oh. Ich muss mich einfach integrieren." ... aber worüber? Integriere ich dreimal, einmal bzgl. Radius, dann phi, dann z? Ich bin mir ziemlich sicher, dass mir das nicht die richtige Antwort geben wird. Wenn ich mich entscheide auszudrücken ∇ v in Bezug auf kartesische Koordinaten bekomme ich − ∇ v ( X , j , z ) = E 0 X ^ ... aber die Frage bleibt.

Ich habe das Gefühl, dass dies definitiv der einfache Teil des Problems ist, und ich kann oft die komplizierteren Teile erledigen – es sind nur kleine Dinge wie diese, die mich oft aus der Fassung bringen. Wie würde ich vorgehen, um das Potenzial aus einer dieser Gleichungen zu extrahieren? Ich weiß, ich muss mich integrieren, aber... wo?

Es gibt viele Integrationsidentitäten für Vektorrechnungen, aber diejenige, nach der Sie suchen, ist en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem .
Möglicherweise finden Sie das auch, anstatt zu konvertieren E von geradlinig zu sphärisch und dann rechnend v daraus wird es viel einfacher zu berechnen sein v in geradlinig und konvertieren Sie das dann in sphärisch.

Antworten (3)

Mir scheint, Sie haben eher ein konzeptionelles als ein mathematisches Problem. Um dem hoffentlich abzuhelfen, möchte ich Sie an ein paar Fakten erinnern.

  1. Gegeben sei ein elektrisches Feld E , ein elektrisches Potential v für E ist eine Skalarfunktion v wofür
    E = − ∇ v
  2. Daraus folgt, wenn v ist ein solches Potenzial, dann können wir beide Seiten entlang einer Kurve integrieren C erhalten
    ∫ C E ⋅ D ℓ = − ∫ C ∇ v ⋅ D ℓ
  3. Wenn C ist eine Kurve mit Endpunkten A Und B , dann sagt uns der Gradientensatz , dass die rechte Seite in Bezug auf die Werte von ausgewertet werden kann v nur an diesen Endpunkten;
    − ∫ C ∇ v ⋅ D ℓ = v ( A ) − v ( B )
  4. Wir haben jetzt die Freiheit, einen Referenzpunkt zu wählen, an dem wir entscheiden, was der Wert des Potentials ist (dies ergibt sich aus der Tatsache, dass in Schritt 1 die Bedingung, dass das Feld der Gradient des Potentials ist, das Potential nicht eindeutig spezifiziert) an einem ausgewählten Bezugspunkt B = X 0 , und die Kombination der Schritte 2 und 3 ermöglicht es uns, den Wert des Potentials an jedem anderen Punkt zu berechnen A = X . Mit anderen Worten, wenn wir diese Bemerkungen mit den Schritten 2 und 3 kombinieren, erhalten wir
    v ( X ) = v ( X 0 ) + ∫ C E ⋅ D ℓ
    Wo C ist irgendein Pfad von X Zu X 0 .

Kurz gesagt, das elektrische Potential wird berechnet, indem sein Wert an einem bestimmten Referenzpunkt ausgewählt wird und dann ein Linienintegral entlang eines beliebigen Pfads zu einem anderen Punkt durchgeführt wird, an dem Sie seinen Wert bestimmen möchten. Auf diese Weise erhalten Sie die funktionale Form von v an jedem Punkt X du magst.

Ich stimme Joshphysics zu. Dies scheint das Problem zu lösen, das ich aus Ihrer Frage herausgefiltert habe. Schritt 4 ist die große Idee, auf die man sich konzentrieren sollte. Um es anders auszudrücken, Sie sollten von Ihrem Bezugspunkt (der dort ist, wo Sie wollen) zu einem beliebigen Punkt integrieren ( X , j , z ) oder ( R , θ , ϕ ) . Meistens verwendet man gestrichene Variablen X ' , j ' , usw. als Integrationsvariable zur Unterscheidung vom Endpunkt.
@BMS Danke dafür. Ich denke, Ihre kühnen Aussagen könnten den Punkt von Nr. 4 besser und prägnanter vermitteln als die Art, wie ich es gesagt habe.

Ich habe eine Antwort gepostet, in der die Ableitung der potentiellen Energie beschrieben wird , die Sie vielleicht lesen möchten, da dasselbe Argument für das elektrische Potential gilt, und ich denke, das ist es, was Sie vermissen. Bei einem gegebenen elektrischen Feld besteht der erste Schritt zur Ermittlung des elektrischen Potentials grundsätzlich darin, einen Punkt auszuwählen X → 0 haben v ( X → 0 ) = 0 . Dann, um das Potential an jedem beliebigen Punkt zu bestimmen X → , du integrierst E → ⋅ D S → auf jedem Weg aus X → 0 Zu X → . Das Punktprodukt bietet Ihnen eine einfach zu integrierende Funktion, sodass Sie sich nicht mit mehreren Richtungen auseinandersetzen müssen. Beachten Sie auch, dass es keine Rolle spielt, welchen Weg Sie wählen, die Antwort wird dieselbe sein, sodass Sie diese Freiheit nutzen können, um einen Weg zu wählen, der sich leicht integrieren lässt.

In kartesischen Koordinaten haben Sie

v ( X , j , z ) = E 0 X ,
Die Umwandlung in Kugelkoordinaten (mit Mathematica 9.0) ergibt also das Potenzial v ( R , θ , φ ) von 

TransformedField["Cartesian" -> "Spherical", E0 x, {x, y, z} -> {r, \[Theta], \[CurlyPhi]}]

E 0 R Sünde ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( φ ) .

Ich habe den Schritt übersprungen, in dem Sie konvertieren E Zu v in kartesischen Koordinaten, weil es ziemlich offensichtlich war, was v war in diesem Fall. Im Allgemeinen bestimmt man für kompliziertere Felder das Potential über den Gradientensatz,

v ( R ) = ∫ γ [ R , R 0 ] E ⋅ D R
Wo γ [ R , R 0 ] ein geeignet gewählter Weg vom Bezugspunkt ist R 0 Zu R .

Berechnung des Potentials aus dem E-Feld
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