Berechnung des Widerstands einer 3D-Form zwischen zwei Punkten

Wenn ich ein willkürlich geformtes Objekt aus einem einheitlichen Material mit einem bestimmten spezifischen Widerstand habe, wie würde ich den Widerstand zwischen zwei Messpunkten mit bekannter Kontaktgeometrie berechnen?

Gibt es dafür eine allgemeine Formel? (anders als nur Maxwells Gleichungen) Wenn ja, wo würde ich eine Ableitung finden?

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Redest du von einem Einwegintegral? Der spezifische Widerstand ist aus der Dimensionsanalyse der Widerstand mal einer Entfernung. Die einfache Formel ist einfach der skalare Widerstand mal der Querschnittsfläche, dividiert durch eine Länge. Wenn ich mir das ansehe, würde ich die Divergenz des Widerstandstensors in ein Skalarprodukt mit der Einheitslänge umwandeln. Auf der rechten Seite hätten Sie ein Integral über die Fläche eines durchschnittlichen Skalarwiderstands oder Gesamtwiderstands. Dies ist nur eine Vermutung, weshalb ich es als Kommentar hinterlassen habe.

Antworten (2)

Nun, ja, das kannst du, aber es ist normalerweise sehr schwer. Hier sind die Schritte:

  1. Lösen Sie die Laplace-Gleichung:

    ∇ 2 v = 0 .
    Finden Sie in Ihrem Fall die allgemeine Lösung in Kugelkoordinaten. Versuchen Sie, jede mögliche Vereinfachung zu verwenden. Sie fragen sich vielleicht, warum Sie die Poisson-Gleichung nicht lösen:
    ϵ ∇ 2 v = ρ .
    Das liegt daran, dass ein Leiter eine gleiche Anzahl von positiven und beweglichen negativen Gittern ist, sodass Sie eine Nettoladungsdichte von Null haben.

  2. Finden Sie das elektrische Feld mit:

    E = − ∇ v
    Sie sollten immer noch einen Begriff haben, der von Ihrem abhängt v 0 , die Potentialdifferenz zwischen Ihren beiden Punkten.

  3. Finden Sie die Stromdichte mit:

    J = σ E .

  4. Finden Sie den Gesamtstrom ICH durch Integration über jede geschlossene Oberfläche, die nur einen Ihrer beiden Kontaktpunkte enthält.

  5. v 0 = R ICH !

Das ist es. Ich habe es verwendet, um den Widerstand für bestimmte Geometrien zu finden, wenn Sie viele Vereinfachungen vornehmen könnten, um die Lösung zu finden v , aber ich weiß nicht, wie es für allgemeinere Probleme angewendet werden kann.

ja, das habe ich gesucht. Ich hatte es im Gespräch mit RossMillikan unten herausgefunden, aber es kam nie zu einer richtigen Antwort.

Nicht dass ich wüsste. Das Beste, was ich tun könnte, ist eine numerische Simulation zu machen. Erstellen Sie ein Netz aus Punkten, die das Objekt füllen, berechnen Sie den Widerstand zwischen jedem Nachbarpaar und führen Sie eine numerische Entspannung durch, um das Potenzial im gesamten Objekt zu bestimmen.

Ich hatte entschieden, dass dieser Ansatz falsch war, obwohl Sie mich vielleicht vom Gegenteil überzeugen könnten. Der Grund, warum ich mich dafür entschieden hatte, war folgender: Nehmen wir an, wir verwenden ein rechteckiges Gitter. Stellen Sie sich nun ein relativ dünnes, gerades Objekt vor. Wenn das Objekt, der Länge l am Raster ausgerichtet ist, würde es enthalten N Widerstände und haben einen Widerstand R , wenn es diagonal zum Gitter liegt, dann würde es enthalten   2 N Widerstände und haben einen Widerstand von 2 R . Vielleicht schlagen Sie vor, die Widerstände als Teil der Lockerung zu modifizieren, obwohl ich nicht sicher bin, wie man das anstellen würde.
Nein, die Widerstände sind während der Relaxation fest, nur die Potentiale an jedem Knoten werden variiert. Wenn die Entspannung konvergiert, berechnen Sie den Stromfluss für die Eingangsspannung der Einheit und erhalten den Widerstand. Der Knotenabstand muss im Vergleich zu allen Merkmalsgrößen des Objekts aus genau dem von Ihnen genannten Grund klein sein. Wenn Ihr Knotenabstand im Vergleich zur Breite der Stange klein ist, erhalten Sie 2 mehr Linien von Punkten, die den Strom teilen, um die zusätzliche Länge zu kompensieren und den gleichen Widerstand zu erhalten.
Ich bin nicht 100% überzeugt, aber Sie haben mich überredet, etwas zu programmieren und zu sehen. Unter der Annahme, dass dies richtig ist, schlägt es nicht eine Gleichung vor, die durch die Minimierung einer Funktion ausgedrückt wird?
Ich denke, normalerweise wird ein nicht-kubisches Netz verwendet, vielleicht die klassische Kugelpackung, die auch dazu beiträgt, die Situation isotrop zu machen.
Ich habe gerade ein grundlegendes Entspannungsverfahren in 2D codiert. Ich werde einige Ergebnisse im OP veröffentlichen, wenn ich welche habe.
OK, ich bin überzeugt und verstehe es jetzt viel besser, danke. Siehe Frage für einige Plots.
Freut mich, das zu sehen. Solange Ihr Netz im Vergleich zu den Abmessungen eines beliebigen Elements des Problems sehr klein ist, sollten Sie ungefähr das gleiche Ergebnis erzielen. Feine Maschen implizieren viele Knoten, die lange Relaxationszeiten implizieren. Wenn Sie es in 3D tun würden, wäre ein Faktor erforderlich N 3 / 2 mehr Knoten. Die Profis in diesem Bereich (ich bin keiner ) haben Techniken zur Auswahl der Knoten, damit das Netz gröber sein kann und Sie gute Ergebnisse erzielen können. Sie haben auch Software, die die Konvergenz beschleunigt. Trotzdem sind Modelle mit Tausenden von Knoten Routine.
Mein obiges Modell hat ungefähr 10.000 Knoten. Es dauerte ungefähr 100.000 Iterationen, um zu konvergieren. Ich hoffe, ich habe es richtig gemacht, ein gewisses Reverse Engineering impliziert, dass ich die Laplace-Gleichung gelöst habe ∇ 2 ϕ = 0 mit Randbedingungen ( N ^ ⋅ ∇ ) ϕ = 0 für kontaktlose u ϕ = C Ö N S T für die Kontakte. Das erscheint mir jetzt sehr plausibel. Sie waren sehr hilfreich, danke.
Ist das dasselbe wie die Finite-Elemente-Methode?
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