Berechnungszeit für mehrere Transferumläufe

Wir können einige Annahmen auf hoher Ebene treffen, um die ungefähre Zeit zu verstehen, die benötigt wird, um die Marsumlaufbahn als Funktion des auf der Erde angewendeten Delta-V zu erreichen.

Zunächst nehmen wir an, dass die Umlaufbahnen von Erde und Mars beide perfekt kreisförmig und koplanar sind. Die angenommenen Eigenschaften jeder Umlaufbahn sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Wir können dann ein einfaches Modell betrachten, da wir an ungefähren Zahlen interessiert sind: Ein rein impulsives Delta-V wird an einem Punkt von der Erdumlaufbahn in Geschwindigkeitsrichtung angelegt, was unser Raumfahrzeug auf eine Marskreuzungsbahn bringt. Wir wollen dann die Zeit erhalten, die nach der Anwendung des impulsiven Delta-v benötigt wird, um die Umlaufbahn des Mars um die Sonne zu kreuzen.

Beachten Sie, dass wir bei diesem einfachen Modell die Phasenlage des Abflugs von der Erde und der Ankunft des Mars vergessen und davon ausgehen, dass der Zeitpunkt der Übertragung so gewählt wird, dass sichergestellt ist, dass sich der Mars zur gleichen Zeit wie das Raumschiff am Kreuzungspunkt befindet.

Wir müssen dann die Zeit zum Erreichen der Kreuzungsposition als Funktion des angelegten Delta-v berechnen. Die Schritte dazu sind ungefähr wie folgt:

1. Fügen Sie das Delta-v hinzu, das auf die kreisförmige Geschwindigkeit der Erdumlaufbahn angewendet wird, um die Geschwindigkeit an der Periapsis für die Transferumlaufbahn zu erhalten.
2. Ermitteln Sie die große Halbachse der Transferbahn aus der spezifischen Bahnenergiegleichung unter Verwendung der Werte aus Schritt 1.
3. Unter Verwendung der großen Halbachse erhalten Sie den Radius des Apogäums und die Exzentrizität der Transferbahn.
4. Bewerten Sie die mittlere Exzentrizität an der Stelle, an der sich die Marsbahn kreuzt. Um dies zu tun, erhalten Sie zuerst die wahre Anomalie an dieser Position von der großen Halbachse und der Exzentrizität. Dann können Sie durch Verwendung der wahren Anomalie die exzentrische Anomalie ableiten, aus der Sie die mittlere Anomalie erhalten können.
5. Berechnen Sie die mittlere Bahnbewegung.
6. Wir können die Flugzeit zwischen zwei Punkten in der Umlaufbahn erhalten, indem wir die Differenz zwischen der mittleren Anomalie an den beiden Punkten finden und diesen Wert durch die mittlere Bewegung dividieren. Da wir vom Perigäum ausgehen, können wir die Flugzeit erhalten, indem wir einfach die mittlere Anomalie am Marskreuzungspunkt durch die mittlere Bewegung dividieren.

Mit diesen Schritten können Sie ein Diagramm erstellen, das die Flugzeit als Funktion des angewendeten Delta-v zeigt.

Auch dies ist nur eine einfache Analyse, um einige grobe Zahlen zu erhalten. Das beschriebene Szenario ist nicht realistisch, da die Umlaufbahnen von Erde und Mars nicht perfekt kugelförmig und koplanar sind. Hoffentlich hilft dies jedoch aus, um einige ungefähre Werte und einen Einblick zu geben, wie diese Zahlen analytisch erhalten werden können.

Um ein genaueres Bild zu erhalten, können Sie versuchen, echte Ephemeridendaten für Erde und Mars in Verbindung mit einem Lambert Solver zu erhalten. Wenn Sie eine kleine Python kennen, empfehle ich diese Videoserie auf YouTube, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie dies getan werden kann: