Beschleunigung: Eine Kugel, die an der Innenseite einer halbkreisförmigen Schale nach unten gleitet

Question

Beschleunigung: Eine Kugel, die an der Innenseite einer halbkreisförmigen Schale nach unten gleitet

Mavvie

Bearbeiten: Zur Verdeutlichung, dies ist eine Hausaufgabenfrage. Aber ich könnte mich nicht weniger darum kümmern, die Antwort auf diese spezielle Frage zu bekommen, da sie noch nicht einmal zugewiesen ist. Es sieht interessant aus und ich möchte die Konzepte dahinter verstehen. Diese Dinge nicht zu verstehen, stört mich :p

Hier die vorgegebene Frage:

Die Fläche von Block M in der Abbildung unten hat die Form einer halbkreisförmigen Schüssel mit Radius R . Eine Masse m wird in der oberen linken Ecke der Schüssel platziert und dann losgelassen. Finden Sie die Beschleunigung des Blocks M relativ zu der Oberfläche, auf der er sitzt, wenn m einen Abstand von 0,8 R vom Boden der Schüssel hat. Es gibt keine Reibung zwischen M und m oder zwischen M und der Oberfläche, auf der es sitzt.

Es wird ein Diagramm bereitgestellt:

Bild

Ich definiere $cos(\theta) = \sqrt{1-0.2^2}$ , als ob der Ball 0,8 R von unten entfernt ist, ist er 0,2 R von oben entfernt, und verwenden Sie dann die pythagoreische Identität, um zu lösen $cos(\theta)$ .

Es heißt, die Antwort ist $a_{block}=\frac{-mgcos(\theta)}{M}$

Das war meine Antwort $a_{block}=\frac{-mgsin(\theta)cos(\theta)}{M}$

Ich spalte die $F_g$ Vektor in seine parallelen und senkrechten Komponenten, so dass $F_{g\perp}=m_1gsin(\theta)$

Die parallele Komponente ist für diese Frage irrelevant.

$F_N=F_{g\perp}=m_1gsin(\theta)$

Dann finden Sie die horizontale Komponente von $F_N$ Ist einfach. Wenn man ein Dreieck zeichnet, sieht man, dass:

$F_{Nx}=F_Ncos(\theta)$

$F_{Nx}=m_1gsin(\theta)cos(\theta)$

Seit $a=\frac{F}{m}$ , bekomme ich meine Gleichung: $a_{block}=\frac{m_1gsin(\theta)cos(\theta)}{M}$ .

Kann mich jemand aufklären, was mein Fehler ist? Ich glaube, ich stoße bei einem anderen Problem auf ein ähnliches Problem, bei dem ein Block einen Keil hinunterrutscht, der sich ebenfalls frei bewegen kann (buchstäblich genau dieses Problem, aber anstelle einer halbkreisförmigen Oberfläche ist es einfach ein Keil).

Steven Mathey

Sind Sie sich der Antwort des Lehrbuchs sicher? Ich habe die Übung gemacht und stimme dir zu. Darüber hinaus besagt die Antwort des Lehrbuchs, dass die Beschleunigung direkt beim Loslassen des Balls (Theta = 0) für jeden Wert von R am größten ist. Dies würde (wenn wir die Grenze R -> unendlich nehmen) implizieren, dass eine Schüssel mit geradem und Vertikale Kanten würden beschleunigen, wenn ein Ball an der Seite herunterfällt.

Mavvie

Das Lehrbuch hat viele Fehler, vielleicht ist dies einer davon. Glaubst du, dass meine Antwort hier richtig ist? ! Link zum Bild Oder vielleicht sollte der Nenner sein

m + M

$m+M$ ..nicht sicher.

Steven Mathey

Wie gesagt: Ich denke, dass Sie Recht haben und dass die Antwort der Bücher keinen Sinn ergibt.

Mavvie

Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe! Ich stimme zu, dass die Beschleunigung bei 45 Grad und nicht bei 0 ihren Höhepunkt erreichen sollte. Ich werde mit einem TA oder dem Professor darüber sprechen. Danke noch einmal!

Michael

Hier ist die Lösung für den Keil: farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node80.html . Ich habe mich schnell an der Schale versucht und bekam nichtlineare Bewegungsgleichungen in der Lagrange-Formulierung (hätte leicht einen Fehler machen können). Das schreibst du

F_{N} = m g \sin θ

$F_N=mg\sin\theta$ , indem Kräfte auf die Masse aufgelöst werden. Dies impliziert eine Nullbeschleunigung senkrecht zur Schüsseloberfläche, aber ich bin sicher, dass dies nicht der Fall ist. Betrachten Sie zum Beispiel die senkrechte Komponente der Massenbeschleunigung für die gegebene Keillösung.

ProfRob

Welchen Winkel definiert das Buch als

θ

$\theta$ (da es die Antwort in diesen Begriffen gibt)?

Mavvie

@Michael Ich kann nicht folgen, sorry. Ich habe den Begriff Lagrange noch nie gehört und er wird im Lehrbuch nicht behandelt (zumindest in den relevanten Abschnitten zu dieser Frage). Vielleicht ist dies eine grobe Vereinfachung der physikalischen Realität, aber ich bin zumindest auf dem richtigen Weg, da die Antwort des Lehrbuchs, wie erwähnt, ist

a = - \frac{m g c o s (θ)}{M}

$a=-\frac{mgcos(\theta)}{M}$ Ich bin mir auch nicht sicher, ob es eine Beschleunigung senkrecht zur Oberfläche geben muss. Könnten Sie das näher erläutern? Die einzige Beschleunigung sollte parallel zur Oberfläche sein, dachte ich.

Mavvie

@RobJeffries das Buch gibt keine Antwort in Bezug auf

θ

$\theta$ , das war meine Vereinfachung. Die Antwort ist

a_{B} = \frac{- 0.98 m g}{M}

$a_B=\frac{-0.98mg}{M}$ . Notiz

0.98 = \sqrt{1 - {0.2}^{2}} = c o s (θ)

$0.98 = \sqrt{1-0.2^2} = cos(\theta)$ (meine Definition von Theta).

ProfRob

Ich denke, die Linie

F_{N} = m g \sin θ

$F_N = mg \sin \theta$ ist falsch. Sie scheinen dies wie ein statisches Problem zu behandeln. Es gibt eine Beschleunigung senkrecht zur Oberfläche. Denken Sie darüber nach, was passieren würde, wenn der Block sehr massiv (im Wesentlichen fest) wäre. Das wäre die Zentripetalbeschleunigung.

Mavvie

Ah, ich glaube du hast recht. Verdammt, das macht es unglaublich schwerer zu lösen. Die Geschwindigkeit im Moment ist parallel zur Tangente der Schüssel, aber es muss eine senkrechte Beschleunigung geben, da die Geschwindigkeit im nächsten Moment in einer anderen Richtung ist. Wie löst man? :P Ich bin nur ein Neuling und nicht sehr versiert in Kalkül ...

Michael

Der Lagrange-Formalismus verwendet die Aktion

S = \int L d t

$S=\int L dt$ wobei L=kinetisches Potential. Die Lösung wird die Flugbahn zB sein

x (t)

$x(t)$ . das minimiert die Aktion dh welche Funktion

x (t)

$x(t)$ minimiert das Integral

\int (T - V) d t

$\int (T-V) dt$ . Es ist ein viel mächtigerer Ansatz, und daraus folgt noch viel mehr. Du wirst es bald genug decken.

ProfRob

Michael, das OP hat die Lagrange-Dynamik offensichtlich nicht behandelt, schlagen Sie also einen anderen Ansatz vor. Mein Vorschlag wäre, Gleichungen für die Impulserhaltung, die Energieerhaltung und für das zweite Newtonsche Gesetz aufzuschreiben. Wenn die Physik funktioniert, sollten Sie in der Lage sein, die nicht gewünschten Variablen zu eliminieren und am Ende einen Ausdruck für die Änderungsrate des Impulses des Blocks zu erhalten. Es sieht immer noch nicht einfach aus und deshalb ist der Lagrange-Ansatz am Ende mächtiger. Aber Sie sollten die Antwort immer noch auf dem "traditionellen" Weg erhalten.

Antworten (2)

Beschleunigung: Eine Kugel, die an der Innenseite einer halbkreisförmigen Schale nach unten gleitet

Sind Sie sich der Antwort des Lehrbuchs sicher? Ich habe die Übung gemacht und stimme dir zu. Darüber hinaus besagt die Antwort des Lehrbuchs, dass die Beschleunigung direkt beim Loslassen des Balls (Theta = 0) für jeden Wert von R am größten ist. Dies würde (wenn wir die Grenze R -> unendlich nehmen) implizieren, dass eine Schüssel mit geradem und Vertikale Kanten würden beschleunigen, wenn ein Ball an der Seite herunterfällt.
Das Lehrbuch hat viele Fehler, vielleicht ist dies einer davon. Glaubst du, dass meine Antwort hier richtig ist? ! Link zum Bild Oder vielleicht sollte der Nenner sein $m+M$ ..nicht sicher.
Wie gesagt: Ich denke, dass Sie Recht haben und dass die Antwort der Bücher keinen Sinn ergibt.
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe! Ich stimme zu, dass die Beschleunigung bei 45 Grad und nicht bei 0 ihren Höhepunkt erreichen sollte. Ich werde mit einem TA oder dem Professor darüber sprechen. Danke noch einmal!
Hier ist die Lösung für den Keil: farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node80.html . Ich habe mich schnell an der Schale versucht und bekam nichtlineare Bewegungsgleichungen in der Lagrange-Formulierung (hätte leicht einen Fehler machen können). Das schreibst du $F_N=mg\sin\theta$ , indem Kräfte auf die Masse aufgelöst werden. Dies impliziert eine Nullbeschleunigung senkrecht zur Schüsseloberfläche, aber ich bin sicher, dass dies nicht der Fall ist. Betrachten Sie zum Beispiel die senkrechte Komponente der Massenbeschleunigung für die gegebene Keillösung.
Welchen Winkel definiert das Buch als $\theta$ (da es die Antwort in diesen Begriffen gibt)?
@Michael Ich kann nicht folgen, sorry. Ich habe den Begriff Lagrange noch nie gehört und er wird im Lehrbuch nicht behandelt (zumindest in den relevanten Abschnitten zu dieser Frage). Vielleicht ist dies eine grobe Vereinfachung der physikalischen Realität, aber ich bin zumindest auf dem richtigen Weg, da die Antwort des Lehrbuchs, wie erwähnt, ist $a=-\frac{mgcos(\theta)}{M}$ Ich bin mir auch nicht sicher, ob es eine Beschleunigung senkrecht zur Oberfläche geben muss. Könnten Sie das näher erläutern? Die einzige Beschleunigung sollte parallel zur Oberfläche sein, dachte ich.
@RobJeffries das Buch gibt keine Antwort in Bezug auf $\theta$ , das war meine Vereinfachung. Die Antwort ist $a_B=\frac{-0.98mg}{M}$ . Notiz $0.98 = \sqrt{1-0.2^2} = cos(\theta)$ (meine Definition von Theta).
Ich denke, die Linie $F_N = mg \sin \theta$ ist falsch. Sie scheinen dies wie ein statisches Problem zu behandeln. Es gibt eine Beschleunigung senkrecht zur Oberfläche. Denken Sie darüber nach, was passieren würde, wenn der Block sehr massiv (im Wesentlichen fest) wäre. Das wäre die Zentripetalbeschleunigung.
Ah, ich glaube du hast recht. Verdammt, das macht es unglaublich schwerer zu lösen. Die Geschwindigkeit im Moment ist parallel zur Tangente der Schüssel, aber es muss eine senkrechte Beschleunigung geben, da die Geschwindigkeit im nächsten Moment in einer anderen Richtung ist. Wie löst man? :P Ich bin nur ein Neuling und nicht sehr versiert in Kalkül ...
Der Lagrange-Formalismus verwendet die Aktion $S=\int L dt$ wobei L=kinetisches Potential. Die Lösung wird die Flugbahn zB sein $x(t)$ . das minimiert die Aktion dh welche Funktion $x(t)$ minimiert das Integral $\int (T-V) dt$ . Es ist ein viel mächtigerer Ansatz, und daraus folgt noch viel mehr. Du wirst es bald genug decken.
Michael, das OP hat die Lagrange-Dynamik offensichtlich nicht behandelt, schlagen Sie also einen anderen Ansatz vor. Mein Vorschlag wäre, Gleichungen für die Impulserhaltung, die Energieerhaltung und für das zweite Newtonsche Gesetz aufzuschreiben. Wenn die Physik funktioniert, sollten Sie in der Lage sein, die nicht gewünschten Variablen zu eliminieren und am Ende einen Ausdruck für die Änderungsrate des Impulses des Blocks zu erhalten. Es sieht immer noch nicht einfach aus und deshalb ist der Lagrange-Ansatz am Ende mächtiger. Aber Sie sollten die Antwort immer noch auf dem "traditionellen" Weg erhalten.

Sashurocks · Answer 1

Kennst du dich mit Energieerhaltung aus? Kennst du dich mit Impulserhaltung aus?

Wenn Sie dies tun, tun Sie Folgendes:

Sparen Sie Energie für das gesamte System (einschließlich Geschwindigkeit des Keils). Am unteren Punkt ändert sich die potentielle Energie des kleineren Blocks (potentielle Energie = mgh) hier ist eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Blocks und des Keils.

Erhalten Sie den Impuls für das System horizontal, da horizontal keine äußere Nettokraft auf das System einwirkt. Dadurch erhalten Sie eine andere Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten des Keils und des Blocks. Sie sollten jetzt in der Lage sein, die Geschwindigkeit des Blocks zu finden (2 Gleichungen, 2 Variablen). Sobald Sie das gefunden haben, können Sie die Zentripetalkraft finden. Das Ergebnis ist die Antwort. Ich habe es geschafft, die gleiche Antwort zu bekommen wie Ihr Lehrbuch. Fragen Sie mich, wenn Sie irgendwelche Zweifel an dem Prozess haben.

Shivankar sukul · Answer 2

Shivankar sukul

Mach es mit Energieerhaltung

Finden Sie zuerst die potenzielle Energie am oberen Rand der halbkreisförmigen Schüssel heraus und halten Sie sie gleich der kinetischen Energie am tiefsten Punkt

Kyle Kanos

Ich glaube nicht, dass das funktionieren wird, weil die Masse

m

$m$ ist nicht am Boden der Schüssel (es ist bei

0.8 R

$0.8R$ ), müssen Sie das PE in dieser Höhe einbeziehen (so a

U_{1} = U_{2} + K_{2}

$U_1=U_2+K_2$ Beziehung).

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Auch dieses Verfahren ergibt keine Beschleunigung. Es bekommt dich

v (θ)

$v(\theta)$ . Sie können von dort aus weitermachen, aber der nächste Schritt ist für die meisten Menschen nicht ganz offensichtlich und diese Antwort ist nicht besonders hilfreich, ohne den Weg zu weisen.

Beschleunigung: Eine Kugel, die an der Innenseite einer halbkreisförmigen Schale nach unten gleitet

Mavvie

Steven Mathey

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Steven Mathey

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Michael

ProfRob

Mavvie

Mavvie

ProfRob

Mavvie

Michael

ProfRob

Antworten (2)

Sashurocks

Shivankar sukul

Kyle Kanos

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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