Beste Methode zur Berechnung der durchschnittlichen Beschleunigung in Laborexperimenten

Während der Beschleunigungsphase kann die Bewegung des Objekts mit der quadratischen Kurve modelliert werden

$$x=x_0 + v_0t+\frac{1}{2}at^2 \qquad\text{where } x_0 \text{ is the initial position, and }v_0 \text{ is the initial velocity}$$ Während der Phase konstanter Geschwindigkeit kann die Bewegung des Objekts mit der linearen Gleichung modelliert werden $$x=x_1 + v_1(t-t_1)$$ Wo $x_1$, $v_1$, Und $t_1$sind Position, Geschwindigkeit und Zeit am Ende der Beschleunigungsphase.

Das Positions-Zeit-Diagramm ähnelt dem Bild unten. Der rote Teil der Kurve ist die Beschleunigungsphase und der blaue Teil der Konstantgeschwindigkeitsphase.

Jetzt müssen Sie nur noch Ihre Daten an die Kurve anpassen. Die Parameter, die Sie variieren können, sind

• $x_0$die Ausgangslage
• $v_0$die Anfangsgeschwindigkeit
• $a$die Beschleunigung
• $t_1$die Zeit am Ende der Beschleunigungsphase

Abgeleitete Größen sind

• $x_1$das ist der Wert von$x$zum Zeitpunkt$t_1$, berechnet unter Verwendung der ersten Gleichung
• $v_1$das ist$v_0 + a t_1$

Um die beste Anpassung zu finden, müssen Sie ein Computerprogramm schreiben, das alle sinnvollen Werte ausprobiert$x_0$,$v_0$,$a$, Und$t_1$. Berechnen Sie für jeden Parametersatz den quadrierten Fehler. Finden Sie die Parameter, die den kleinsten quadratischen Fehler ergeben, und den Wert von$a$in diesen Parametern ist die Beschleunigung, die Sie suchen.

Pseudocode zum Berechnen des quadratischen Fehlers für einen einzelnen Parametersatz:

total = 0
for ( each t )
{
    if ( t < t1 )
        x = x0 + v0*t + 0.5*a*t*t
    else 
        x = x1 + v1*(t-t1)

    error = actual_measured_x(t) - x

    total += error * error
}

Der Durchschnittswert der Beschleunigung sollte nur von der Anfangs- und Endgeschwindigkeit und dem Zeitintervall zwischen ihnen abhängen. Da der Mittelwert einer Funktion über das Intervall a bis b das Integral der Funktion von a bis b dividiert durch (ba) ist , und da das Integral der Beschleunigung Ihnen dann die Geschwindigkeit gibt, wenn die Grenzen sind$t_1$Und$t_2$Die durchschnittliche Geschwindigkeit würde sich auf einfach reduzieren:

$$a_{avg}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$$

Wenn Sie also nur Position und Zeit messen können, wäre es vielleicht am besten, zu Beginn 2 Punkte sehr nahe beieinander zu messen und sich der Anfangsgeschwindigkeit zu nähern, die Ihre wäre$v(t_1)$, und dann 2 weitere Punkte ganz am Ende nahe beieinander, um die Endgeschwindigkeit anzunähern$v(t_2)$.