Bewegung in einem zeitabhängigen homogenen Magnetfeld

Angenommen, Sie haben ein unendliches Solenoid , das im Inneren ein gleichmäßiges Magnetfeld erzeugt . Das Feld ist entlang der Solenoidachse orientiert: Einheitsvektor$\vec{\bf n}$. Die Feldstärke ändert sich linear mit der Zeit dazwischen$t_1$Und$t_2 = t_1 + \Delta t$, so (wir vernachlässigen hier alle elektromagnetischen Wellen ) :

$$\begin{equation}\tag{1} B(t) = B_1 + \lambda \, (B_2 - B_1)(t - t_1), \end{equation}$$ Wo $B_1$ist das konstante Magnetfeld für die Zeit $t < t_1$, $B_2$ist das konstante Magnetfeld für die Zeit $t > t_2 = t_1 + \Delta t$, Und $\lambda = 1/\Delta t$. Die zeitliche Variation dieses Feldes erzeugt ein induziertes elektrisches Feld innerhalb des Solenoids für das gleiche Zeitintervall (von $t_1$Zu $t_2$) : $$\begin{equation}\tag{2} \vec{\bf E} = -\, \frac{1}{2} \; \lambda \; \Delta B \; \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}, \end{equation}$$ Wo $\Delta B = B_2 - B_1 > 0$ist eine einfache Konstante (das Magnetfeld im Solenoid nimmt zu). Beachten Sie, dass der Einheitsvektor $\vec{\bf n}$ist ebenfalls eine Konstante (die Achse des Solenoids).

Jetzt lassen Sie ein positiv geladenes Teilchen in das Solenoid fallen:$q > 0$, mit beliebiger Position und Anfangsgeschwindigkeit. Die Bewegungsgleichung lautet:

$$\begin{equation}\tag{3} \frac{d \vec{\bf p}}{d t} = q \, \vec{\bf E} + q \, \vec{\bf v} \times \vec{\bf B}, \end{equation}$$ Wo $\vec{\bf p} = \gamma \, m \, \vec{\bf v}$ist der relativistische Impuls des Teilchens. Ich bin nicht daran interessiert, diese Gleichung analytisch zu lösen (ich habe es numerisch mit Mathematica gemacht . Die 3D-Kurven sind hübsch!). Nun ist das Problem folgendes:

Wie können wir analytisch die endgültige Energie zur Zeit finden?$t > t_2$, als Funktion der Feldstärken$B_1$,$B_2$und die anfängliche Geschwindigkeit (oder Energie) zum Zeitpunkt$t < t_1$?

Ich weiß, dass es für dieses Problem mindestens eine exakte Bewegungskonstante gibt:

$$\begin{align} \mathcal{J} &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times (\vec{\bf p} + q \, \vec{\bf A}) \big), \\[18pt] &= \vec{\bf n} \cdot \big( \vec{\bf r} \times \gamma \, m \, \vec{\bf v} + \frac{q}{2} \; B(t) \, \vec{\bf r} \times (\vec{\bf n} \times \vec{\bf r})\big), \tag{4} \end{align}$$ Wo $\vec{\bf A}$ist der Potentialvektor: $$\begin{equation}\tag{5} \vec{\bf A} = \frac{1}{2} \; B(t) \, \vec{\bf n} \times \vec{\bf r}. \end{equation}$$

Wir könnten auch versuchen, den Satz über die kinetische Energie anzuwenden (das Magnetfeld leistet keine Arbeit):

$$\begin{align} \Delta K = W_{\text{em}} &= \int_{t_1}^{t_2} q \, \vec{\bf E} \cdot \vec{\bf v} \; dt \\[18pt] &\equiv -\, \frac{q}{2} \; \lambda \, \Delta B \int_{t_1}^{t_2} \vec{\bf n} \cdot (\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}) \, dt, \tag{6} \end{align}$$ aber leider hilft es nicht, da ich nicht weiß, wie ich dieses Integral auswerten soll (beachten Sie, dass der Vektor $\vec{\bf r} \times \vec{\bf v}$ist hier nicht erhalten, und es ist nicht genau der Drehimpuls des Teilchens seit der Relativistik $\gamma$Faktor fehlt). Wir erkennen jedoch das Zeitintegral des magnetischen Moments des Teilchens $\vec{\boldsymbol{\mu}}(t)$: $$\begin{equation}\tag{7} \vec{\boldsymbol{\mu}}(t) = \frac{q}{2} \; \vec{\bf r}(t) \times \vec{\bf v}(t), \end{equation}$$ also könnten wir die folgende Variation der kinetischen Energie schreiben, aber es hilft nicht viel: $$\begin{equation}\tag{8} \Delta K = -\, \langle \, \vec{\boldsymbol{\mu}} \, \rangle \cdot \Delta \vec{\bf B}. \end{equation}$$ Die Konstante der Bewegung $\mathcal{J}$ist in diesem Fall nicht hilfreich, selbst wenn die Bewegung auf die Ebene orthogonal zu beschränkt ist $\vec{\bf n}$(dh Bewegung im Querschnitt des Solenoids).

Irgendein Vorschlag, die Variation der kinetischen Energie zu finden$\Delta K$?

Ich vermute auch, dass es eine andere exakte Erhaltungsgröße für dieses Problem geben könnte (Gesamtenergie? Gesamter magnetischer Fluss auf dem Weg des Teilchens?). Was kann die andere Erhaltungsgröße sein?

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Hier ist eine typische Flugbahn in der orthogonalen Ebene des Solenoids:

Ein Bild im Flugzeug http://s10.postimg.org/87h0m0849/motion.jpg[/img]

Der große Kreis ist die anfängliche Bewegung zur Zeit$t < t_1$(klassische Kreisbewegung, Radius$r_1 = \gamma_1 \, m \, v_1/ q \, B_1$). Der kleine Kreis im Inneren ist die letzte Bewegung zur Zeit$t > t_2$(eine weitere klassische kreisförmige Bewegung um die endgültigen Magnetfeldlinien mit Radius$r_2 = \gamma_2 \, m \, v_2/ q \, B_2$). Der Weg zwischen beiden Kreisen ist die Wirkung des zeitveränderlichen Magnetfelds und des induzierten elektrischen Felds (das das Teilchen beschleunigt:$v_2 > v_1$). Ich muss die Energievariation vom großen Kreis zum kleineren analytisch finden, um den endgültigen Radius zu erhalten$r_2$(da wir den endgültigen linearen Impuls nicht kennen$p_2 = \gamma_2 \, m \, v_2$).

Hier ist ein weiteres Bild, um einige typische Trajektorien in 3D zu zeigen. Die Drift zur Mitte tritt während des Übergangs auf$B_1 \Rightarrow B_2 > B_1$:

Ein Bild in 3D http://s11.postimg.org/yarbwa0ab/induction2.jpg[/img]

Die Drift wird durch das induzierte elektrische Feld verursacht, das die Partikel mit einer lokalen Driftgeschwindigkeit antreibt $\vec{\bf v}_d = \vec{\bf E} \times \vec{\bf B}/B^2$.

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Ergänzen :

Das kann interessant sein. Betrachtet man nicht-relativistische Bewegung nur in einer Ebene (orthogonal zu den magnetischen Feldlinien), ergibt sich unter Verwendung von Polarkoordinaten folgende radiale Differentialgleichung:

$$\begin{equation} \ddot{\rho} + \omega^2 \, \rho = \frac{\mathcal{J}^2}{\rho^3}, \end{equation}$$ Wo $\mathcal{J}$ist die oben definierte Bewegungskonstante (pro Masseneinheit) und $\omega = q B(t)/2m$die Larmor-Kreisfrequenz ist. Dieser Unterschied. Gleichung ist schwer zu lösen, zumal $\omega$kommt drauf an $t$. Der Winkelanteil ergibt sich aus dieser Gleichung: $$\begin{equation} \dot{\vartheta} = \frac{\mathcal{J}}{\rho^2} - \omega. \end{equation}$$