Beweis der Drehimpulserhaltung für ein Teilchen, das sich in einem zentralen Kraftfeld F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r bewegt

Question

Beweis der Drehimpulserhaltung für ein Teilchen, das sich in einem zentralen Kraftfeld F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r bewegt

Joebevo

Ein Problem, das ich zu lösen versuche, ist folgendes:

Ein Teilchen bewegt sich in einem durch gegebenen Kraftfeld $\vec F =\phi(r) \vec r$ . Beweisen Sie, dass der Drehimpuls des Teilchens um den Ursprung konstant ist.

Ich habe es wie folgt eingerichtet:

$\vec F = m {d^2\vec r \over dt^2}$

$\vec v = \int {\frac {\vec F}{m} }\ dt = \int {\frac {\phi(r) \vec r}{m} }\ dt$

was gleich ist:

${\frac {\phi(r) t \vec r}{m} } + c$

(Ich bin mir nicht sicher, was ich an dieser Stelle mache. Ist mein integrierter Ausdruck korrekt?)

Unter der Annahme, dass dies der Fall ist, erhalten wir:

Drehimpuls $L = m (\vec r \times \vec v) = \vec r \times (\phi(r) t \vec r + c)$

Jetzt weiß ich nicht, was ich mit dem konstanten Begriff anfangen soll, aber das weiß ich

$\vec r \times k\vec r = 0$

Das Problem besagt jedoch, dass wir beweisen müssen, dass das Ergebnis eine Konstante ist, also glaube ich, dass ich falsch liege. Konkrete Orte, an denen mir jemand helfen könnte, sind:

(1) Ist meine Integration korrekt? Wenn nicht, wie integriert man eine Kraft (angegeben in Ortsvektorschreibweise) über die Zeit?

(2) Was passiert mit der Konstante? Das Kreuzprodukt eines Vektors und eines Skalars macht keinen Sinn.

Steve Byrnes

Wenn Sie diese gewisse Menge beweisen wollen

X Y Z

$XYZ$ sich mit der Zeit nicht ändert, ist der intuitivste Weg, dies zu beweisen

X Y Z (t = t_{1}) = X Y Z (t = t_{2})

$XYZ(t=t_1) = XYZ(t=t_2)$ für zwei beliebige Zeiten

t_{1}

$t_1$ Und

t_{2}

$t_2$ . Aber das ist fast nie der einfachste Weg. Ein klügerer Ansatz ist der Versuch zu beweisen, dass die zeitliche Ableitung von XYZ Null ist.

Antworten (3)

Beweis der Drehimpulserhaltung für ein Teilchen, das sich in einem zentralen Kraftfeld F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r bewegt

Wenn Sie diese gewisse Menge beweisen wollen $XYZ$ sich mit der Zeit nicht ändert, ist der intuitivste Weg, dies zu beweisen $XYZ(t=t_1) = XYZ(t=t_2)$ für zwei beliebige Zeiten $t_1$ Und $t_2$ . Aber das ist fast nie der einfachste Weg. Ein klügerer Ansatz ist der Versuch zu beweisen, dass die zeitliche Ableitung von XYZ Null ist.

Benutzer9564 · Answer 1

Wenn Sie das beweisen wollen $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ für ein Teilchen in einem zentralen Kraftfeld zeitlich konstant ist $\vec F = \phi(r) \vec r$ , zeigen Sie einfach, dass sich der Drehimpuls nicht mit der Zeit ändert, dh $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ .

Mit der Produktregel erhalten wir zwei Terme:

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p}) = \frac{d\vec r}{dt} \times \vec p + \vec r \times \frac{d \vec p}{dt}$ .

Seit $\vec p = m \frac{d \vec r}{dt}$ Und $\frac{d \vec r}{dt}$ offensichtlich parallel sind, verschwindet der erste Term. Im Spezialfall einer Zentralkraft $\vec F = \phi(r) \vec r$ auch der zweite Term verschwindet: We have $\frac{d\vec p}{dt} = \vec F \propto \vec r$ , also sind die beiden Vektoren im zweiten Term parallel, wodurch das Kreuzprodukt Null wird.

Deshalb $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ Und $\vec{L}$ ist eine zeitliche Konstante.

Um Ihre Fragen zu beantworten:

(1) Nein, so kann man nicht integrieren. Die Position des Partikels $\vec r$ ändert sich mit der Zeit, also kannst du es nicht als Konstante in deiner Integration behandeln. Wenn Sie dieses Integral lösen wollen, lösen Sie die Bewegungsgleichungen $\frac{d \vec p}{dt} = \vec F$ Erste.

(2) Wenn Ihre Integration korrekt gewesen wäre (z. B. wenn die Partikelposition konstant wäre), wäre die Integrationskonstante auch ein Vektor gewesen. Dann würde das Kreuzprodukt wieder Sinn machen.

Manas · Answer 2

Seit $F = \phi(r) \vec r$ , finden Sie das Drehmoment um den Ursprung herum.

Drehmoment $\tau = \vec F \times \vec r = \phi (r) \vec r \times \vec r$

Aber $\vec r \times \vec r$ Null ist, also ist das Drehmoment um den Ursprung ebenfalls Null.

Da das Drehmoment nur die Änderungsrate des Drehimpulses ist $\frac{ d\vec L}{dt}$ , ändert sich der Drehimpuls nicht, was Sie beweisen wollten.

Jorge Lavin · Answer 3

Sie können dieses Integral nicht machen, weil wir erwarten $\vec{r}$ sich mit der Zeit ändern. Wenn das Potential zentral ist, dann hängt es nur von der Norm des Radiusvektors ab, aber das kann sich natürlich ändern. In Ihrem Integral mischen Sie jedoch Zahlen und Vektoren, $\vec{c}$ ist in jedem Fall ein Vektor.

Bearbeiten: Ich habe die Frage falsch verstanden, die obige Antwort ist gut

Beweis der Drehimpulserhaltung für ein Teilchen, das sich in einem zentralen Kraftfeld F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r bewegt

Joebevo

Steve Byrnes

Antworten (3)

Benutzer9564

Manas

Jorge Lavin

Drehimpuls und Drehmoment eines schwingenden zylindrischen Stabes

Beispiel Nichterhaltung des Drehimpulses, aber ist ein externes Drehmoment wirklich erforderlich?

Warum bleibt in diesem Fall der Drehimpuls erhalten?

Warum können wir den Drehimpuls um keinen anderen Punkt als den Massenmittelpunkt erhalten?

Bewegung eines Raumschiffs bei exzentrischem Schub

Warum sollte in diesem Fall der Drehimpuls erhalten bleiben?

Scheinbare Verletzung des 3rd3rd3^{\text{rd}}-Gesetzes von Newton und der Erhaltung des Impulses (und des Winkelimpulses) für ein Paar geladener Teilchen

Linearer Impuls eines rotierenden Systems

Stab trifft Stab - Dreh- und Linearimpuls

Erhaltung des Drehimpulses in verschiedenen Fällen