Warum bleibt in diesem Fall der Drehimpuls erhalten?

Ich habe folgendes Problem gemacht:

Ein massiver Holzwürfel von der Seite 2 A und Masse M ruht auf einer horizontalen Fläche. Der Würfel ist gezwungen, sich um eine Achse zu drehen A B . Eine Massekugel M und Geschwindigkeit v wird auf das Gesicht gegenüber geschossen A B C D in einer Höhe von 4 A / 3 . Die Kugel wird in den Würfel eingebettet. Finden Sie den Mindestwert von v erforderlich, um den Würfel so zu kippen, dass er auf die Vorderseite fällt A B C D . Annehmen M ≪ M .Diagramm des Problems

Ich war mir nicht sicher, wie ich dieses Problem lösen sollte, also habe ich auf dieser Website nach Hinweisen gesucht: https://www.physicsforums.com/threads/conservation-of-angular-momentum-help-needed.53833/

Hier ist die Methode, die sie vorgeschlagen haben (ich konsolidiere die Lösung der Einfachheit halber an einem Ort):

Zuerst müssen wir die minimale Winkelgeschwindigkeit bestimmen, bei der der Würfel auf die Vorderseite fällt A B C D . Dafür braucht es genügend Winkelgeschwindigkeit, um einen Winkel von 45 Grad zu drehen, danach hilft ihm die Schwerkraft nach unten. Wir erhalten also die Gleichung (durch Anwendung der Erhaltung der mechanischen Energie):

M G A ( 2 − 1 ) = 1 2 ( 8 M A 2 3 ) ω Mindest 2

Dies impliziert das

ω Mindest = 3 G ( 2 − 1 ) 4 A

Jetzt wenden wir die Erhaltung des Winkelimpulses an, um die minimale Geschwindigkeit mit der minimalen Winkelgeschwindigkeit in Beziehung zu setzen:

M v Mindest ( 4 A 3 ) = ( 8 M A 2 3 ) ω Mindest

(Das Trägheitsmoment des Geschosses dürfen wir zu Recht vernachlässigen, weil es so gegeben ist M ≪ M .)

Nach dem Umordnen bekommen wir das v Mindest ist gleich

v Mindest = ( M M ) 3 G A ( 2 − 1 )

Diese Antwort stimmt mit der am Ende des Lehrbuchs überein, daher weiß ich, dass die Antwort (und daher höchstwahrscheinlich auch die Methode) richtig ist.

Was ich nicht verstehe, ist, warum bleibt in diesem Fall der Drehimpuls erhalten? Unser System ist der Würfel + die Kugel, und die Schwerkraft, die durch die COM des Würfels wirkt, übt ein externes Drehmoment auf das System aus.

Antworten (1)

Bevor die Kugel auftrifft, ist das Drehmoment auf den Block 0 . Die Reaktionskraft der horizontalen Fläche wird gleichmäßig über die Unterseite des Blocks verteilt.

Wenn sich der Block dreht, verschiebt sich die Reaktionskraft zum Rand des Blocks. Dies erzeugt ein Drehmoment, das dem des Geschosses entgegengesetzt ist. Die Annahme ist, dass die Kugel sehr schnell zur Ruhe kommt. Die Änderung des Drehimpulses aus der Reaktionskraft während des Stoßes ist Δ L R = τ R Δ T , Wo τ R ist das Drehmoment aus der Reaktionskraft. τ R << τ B , das Drehmoment der Kugel. (Kein Holz wird durch die horizontale Oberfläche zerdrückt.) Also während der Kollision, Δ L R << Δ L B , und kann ignoriert werden. Dadurch können Sie den anfänglichen Drehimpuls des Blocks + des Geschosses berechnen.

Nach dem Stoß bleibt der Drehimpuls nicht erhalten. Der τ R verlangsamt den Block. Wenn v = v M ich N , kommt der Block balanciert auf seiner Kante zum Stehen.

Nicht, dass Sie es brauchen, aber diese alte Antwort von mir zeigt Bilder der Reaktionskraft und wie sie sich auf das Drehmoment bezieht.

Es könnte nützlich sein anzumerken, dass diese Idee der Impulserhaltung ähnlich ist, die beim Problem des ballistischen Pendels verwendet wird .
@ mmesser314 Also bleibt der Drehimpuls im Grunde nicht erhalten? Wie soll ich dann die (lineare) Geschwindigkeit des Geschosses mit der Winkelgeschwindigkeit des Blocks in Beziehung setzen? Was das andere angeht, ja, du hast recht. Genau genommen müsste die Geschwindigkeit des Geschosses sein v = v Mindest + ϵ Wo ϵ ist eine extrem kleine positive reelle Zahl. Allerdings habe ich diese Unterscheidung nie in Physikproblemen gesehen, weshalb ich diese Unterscheidung auch nicht gemacht habe.
@BioPhysicist Ich kann sicherlich die Ähnlichkeiten in den beiden Problemen erkennen, aber beim Problem des ballistischen Pendels ist die äußere Nettokraft auf das System Null, da der Schwerkraft auf den Block die Spannung im Seil entgegenwirkt, an dem der Block hängt aus. Aber andererseits wirkte die Schwerkraft auf die Kugel, während sie auf den Block zuflog ...
@TirthankarMazumder Im ballistischen Pendel beginnt sich der Block zu bewegen, sobald die Kugel auf den Block trifft, und daher ist die Nettokraft technisch gesehen nicht 0 während der Kollision.
Ohhh, ich habe endlich die Antwort bekommen. Es hat einfach Klick gemacht :) Im Grunde genommen ist das Drehmoment aufgrund dieser anderen Kräfte vernachlässigbar, und deshalb sind wir berechtigt, es zu ignorieren und zu sagen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.
Warum bleibt in diesem Fall der Drehimpuls erhalten?
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