Winkelgeschwindigkeit nach einem Reibungsimpuls [Duplikat]

Für diesen Beitrag verwende ich die Indizes$_0$,$_1$,$_p$, Und$_n$zur Bezeichnung vor dem Aufprall, nach dem Aufprall, senkrecht zur Aufprallfläche und tangential zur Aufprallfläche gemäß den OP-Diagrammen.

Aufstellen

Wenn die Kugel kugelförmig und von gleichmäßiger Dichte ist,$I=\frac25m\,r^2$

Die Kraft, die über die Zeit auf die Kugel wirkt, kann in einen Impuls integriert werden. Der Impuls muss am Kontaktpunkt wirken, der ist$r$vom Massenmittelpunkt entfernt. Der$p$Komponente wirkt sich nur auf die aus$p$Geschwindigkeitskomponente und das Maximum$n$Kraft durch Reibung. Der$n$Komponente beeinflusst die$n$Geschwindigkeit und die Rotationsgeschwindigkeit.

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$ (Das Vorzeichen des letzten Terms hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab.)

Rollender Koffer

Wenn der Ball genug Reibung hat, dass er am Ende des Aufpralls über die Oberfläche rollt,$V_{n1}=-\omega_1\,r$

Dies wäre der Fall, wenn Oberflächen mit hoher Reibung vorhanden sind und die Kugel nicht sehr drehelastisch ist. Ich könnte mir vorstellen, dass dies bei Basketbällen der Fall ist. (Beachten Sie jedoch, dass Basketbälle hohl sind$I\approx\frac23m\,r^2$Daher müssten die folgenden Berechnungen für diesen Wert von erneut durchgeführt werden$I$)

Dies ist nun ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Renditen lösen:

$$J_n=-\frac27 m(r\,\omega_0+V_{n0})$$ $$\omega_1=\frac{2\,\omega_0}7-\frac{5V_{n0}}{7r}$$ $$V_{n1}=-\frac{2r\,\omega_0}7+\frac{5V_{n0}}{7}$$

Welche, wenn Sie festlegen$\omega_0=0$Erträge$V_{n1}=\frac57V_{n0}$so wie es in der Problembeschreibung steht. Beachten Sie, dass keine Energieeinsparung verwendet wurde, da in diesem Fall die Reibung einen Teil der Energie verbrauchen würde.

Gleitender Aufprall

Wenn Sie dieses System nun so ändern möchten, dass der Aufprall endet, bevor die Rutschgeschwindigkeit Null wird, dann würde der Ball die gesamte Dauer des Aufpralls rutschen, was bedeutet, dass dies der Fall ist$F_n=\mu\,F_p$für die gesamte Einwirkungsdauer also also$J_n=\mu\,J_p$Jetzt haben wir also:

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$

$$V_{p1}=V_{p0}+\frac{J_p}{m}=-V_{p0}\,COR$$

$$J_n=\mu\,J_p$$

Wo$COR$ist der Restitutionskoeffizient für die Geschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche.

Das direkte Lösen ergibt einige lange hässliche Gleichungen, aber wenn ich das programmieren würde, würde ich wahrscheinlich die Werte wie folgt berechnen:

$$maxFriction=\mu\,(COR+1)$$ $$V_{p1}=-V_{p0}\,COR$$ $$V_{slide}=r\,\omega_0+V_{n0}$$ $$\frac{J_n}{m}=-sign(V_{slide})\,min(maxFriction\,|V_{p0}|,\frac27 |V_{slide}|)$$ $$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac52\frac{J_n}{m}$$

Torsionselastisch

Was passiert, wenn Sie so etwas wie einen Superball oder Lacrosse-Ball bekommen, der sich verformen und Torsionsenergie speichern kann?

In diesem Fall kann der Impuls tatsächlich stärker sein als erforderlich, um die Gleitgeschwindigkeit auf Null zu bringen. Dies ähnelt der Art und Weise, wie bei elastischen Kollisionen die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen zwei Objekten nicht nur auf Null gebracht wird, sondern tatsächlich die Richtung umkehrt. Wie sich herausstellt, kehrt der maximale Impuls, der keine Nettoenergie erzeugt, die Richtung der Gleitgeschwindigkeit um. Ich glaube jedoch, dass es eine Wechselwirkung zwischen der senkrechten Geschwindigkeit und der Änderung der Gleitgeschwindigkeit gibt. Also das kann ich jetzt nur sagen$|J_n| < \frac47m(r\,\omega_0+V_{n0})$Und$|J_n| < \mu\,m\,(COR+1)V_{p0}$

$F_r = \mu N$

$\mu$ist der Reibungskoeffizient. N ist die Normalkraft (der Anteil der Gewichtskraft senkrecht zur Oberfläche).

Wenn es teilweise rutscht, ist die geleistete Arbeit nicht F*Länge der Neigung - machen Sie diesen Fehler nicht.

Dies ist eine ziemlich lange Antwort - springen Sie nach unten, wenn Sie nur die Lösung sehen möchten.

Es scheint, dass Sie davon ausgehen, dass die Kollision ausreichend unelastisch ist, damit der Ball nicht von der Oberfläche abprallt, richtig? Scheint ein bisschen ungewöhnlich zu sein, dass ein Ball unelastisch genug ist, um an einer Oberfläche zu haften, aber steif genug, um danach glatt zu rollen, aber wir machen es so.

Wir können die anfängliche kinetische Energie in zwei Teile teilen:$KE_p$Und$KE_n$Ich verwende Ihr Maßbeschriftungssystem von "p" und "n".

Da der Ball anscheinend seine gesamte Geschwindigkeit in der "p"-Richtung verliert und ich keine Hinweise auf eine teilweise Kraft sowohl in der "p"- als auch in der "n"-Richtung sehe, die eine Übertragung von kinetischer Energie zwischen den "p" erleichtern könnte und "n" Richtungen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass 100% der$KE_p$muss als Wärme abgeführt werden.

Das geht$KE_n$zwischen der abschließenden translatorischen Bewegung in Richtung "n" und der rotatorischen Bewegung aufzuteilen.

Ich werde mir einen Moment Zeit nehmen, um den Fall zu lösen, in dem der Ball rollt, ohne zu rutschen. In diesem Fall ist die gesamte verfügbare Energie$KE_n$

$$KE_n = \frac{1}{2} m ~V_{n0}$$ Diese Energie verteilt sich auf kinetische Translationsenergie, kinetische Rotationsenergie und möglicherweise Wärme. $$KE_{n0} = KE_{n1} + KE_{rot} + Q$$ $$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2 + \frac{1}{2} I ~\omega^2 + Q$$ Für eine einheitliche Kugel gilt: $I = \frac{2}{5} m r^2$. Wenn Ihr Ball sofort beim Aufprall ohne Rutschen zu rollen beginnt, müssen die Rotationsgeschwindigkeit und die Translationsgeschwindigkeit über in Beziehung gesetzt werden $\omega = \frac{V_{n1}}{r}$. Wenn wir diese in ersetzen und vereinfachen, erhalten wir

$$V_{n0}^2 = \frac{7}{5} V_{n1}^2 + Q$$

Wenn wir nun (wahrscheinlich vernünftigerweise) annehmen, dass beim Aufprall von der Anfangsgeschwindigkeit des Balls in Richtung "n" vernachlässigbare Wärme erzeugt wird, dann erhalten wir

$$V_{n1} = \sqrt{\frac{5}{7}} V_{n0}$$

Beachten Sie die Quadratwurzel ! Es scheint, dass Sie oder Ihre Quelle dort irgendwo eine Quadratwurzel vergessen haben.

Nun, Ihre Frage bezog sich auf das Verhalten, wenn die Reibungskraft nicht stark genug ist, um ein "reines Rollen" oder ein "Rollen ohne Rutschen" zu verursachen, wie es mir beigebracht wurde.

Wenn der Ball zum ersten Mal auftrifft, dreht er sich überhaupt nicht. Es muss also im ersten Moment rein gleitend sein. In diesem Fall gibt es keine Rotationsenergie und die Energie teilt sich wie folgt auf:

$$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2$$ lässt uns mit $$V_{n1} = V_{n0}$$ Ziemlich einfache Antwort. Nun, es ist nicht ganz klar, ob Sie das wollen, aber so wird sich die Geschwindigkeit entwickeln:

Die Kräfte in Richtung "n" werden sein$F_n = F_{gn} + F_f$, wobei F_{gn} die Komponente der Gravitationskraft in "n"-Richtung ist. Die Reibungskraft muss sein$\mu F_N$Wo$F_N$, die Normalkraft, sein muss$m g cos(\theta)$.

$$F_n = - m g sin(\theta) - \mu m g cos(\theta)$$

Da dies eine konstante Kraft ist, können wir durch Masse dividieren, die Beschleunigung erhalten und die Translationsgeschwindigkeit über die Zeit vorhersagen:

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$

Über das Drehmoment erhält man die Drehzahl. Die einzige Kraft, die ein Drehmoment erzeugt, ist also die Reibungskraft

$$\tau = \mu m g cos(\theta) r$$

Was uns, wenn wir annehmen, dass die Kraft der kinetischen Reibung konstant ist, ebenfalls erlaubt zu finden

$$\omega(t) = \frac{\tau}{I} t$$ $$\omega(t) = \frac{\mu m g cos(\theta) r}{\frac{2}{5} m r^2} t$$ $$\omega(t) = \frac{5}{2} \frac{\mu g cos(\theta)}{r} t$$

Meine letzte Antwort lautet also$V_{n1}(t)$wird von gegeben

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$ Wo $t=0$ist der Zeitpunkt des Aufpralls. Diese Antwort gilt bis zu dem Punkt, an dem sich die Kugel nicht mehr bewegt oder bis die Kugel ohne Rutschen zu rollen beginnt (da an diesem Punkt die Haftreibung überwiegt).