Beweis für ∮dQT=0∮dQT=0\oint\frac{dQ}{T}=0 in einem reversiblen Prozess

Question

Beweis für ∮dQT=0∮dQT=0\oint\frac{dQ}{T}=0 in einem reversiblen Prozess

Amsterdam6483

Ich versuche tatsächlich zu beweisen, dass Entropie eine Zustandsfunktion ist. Ich werde an der Stelle geschlagen, wo ich das beweisen muss $\oint \frac{dQ}{T}=0$ für einen reversiblen Prozess. Clausius bewies dies in seinem Buch The Mechanical Theory of Heat , indem er jeden Prozess als eine Kombination aus einem kleinen isothermen und einem adiabatischen Prozess betrachtete. Dadurch wird jeder reversible Prozess in Carnot-Zyklen zerlegt, für die das Ergebnis gut belegt ist. Das Problem ist, dass ich nicht wirklich sicher bin, ob eine solche Trennung tatsächlich zu dem erforderlichen Prozess führen wird. Wenn jemand beweisen kann, dass sogar das gut genug ist.

Ansonsten suche ich nach Beweisen, wo man es mathematisch (oder mit logischen Mitteln) beweisen kann. Folgende Antworten habe ich bereits versucht:

Benutzer258881

Ich würde Ihnen raten, sich diese Antwort anzusehen: physical.stackexchange.com/a/511590/258881

Amsterdam6483

@FakeMod Sorry konnte nicht verstehen was da gemacht wurde.

Amsterdam6483

Die Antwort könnte in den Links enthalten sein, die ich oben geteilt habe. Ich habe versucht, jeden einzelnen von ihnen zu lesen. Aber konnte nicht viel bekommen. Ich glaube, ich bin dumm.?

Benutzer258881

Nein, das heißt nicht, dass du dumm bist, aber ehrlich gesagt weiß nicht einmal ich mehr als das Zeug, auf das du verlinkt hast.

Antworten (2)

Beweis für ∮dQT=0∮dQT=0\oint\frac{dQ}{T}=0 in einem reversiblen Prozess

Ich würde Ihnen raten, sich diese Antwort anzusehen: physical.stackexchange.com/a/511590/258881
Die Antwort könnte in den Links enthalten sein, die ich oben geteilt habe. Ich habe versucht, jeden einzelnen von ihnen zu lesen. Aber konnte nicht viel bekommen. Ich glaube, ich bin dumm.?
Nein, das heißt nicht, dass du dumm bist, aber ehrlich gesagt weiß nicht einmal ich mehr als das Zeug, auf das du verlinkt hast.

Benutzer258881 · Answer 1

Unter Verwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik

\begin{aligned} D Q & = D U + D W \\ D Q & = N C_{v} D T + P D v \\ \frac{D Q}{T} & = N C_{v} \frac{D T}{T} + \frac{P}{T} D v \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm dQ & = \mathrm dU +\mathrm dW\\ \mathrm dQ &= n C_V \mathrm dT + P \mathrm dV\\ \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{P}{T} \mathrm dV \end{align}$

Da das betrachtete Gas ein ideales Gas ist, können wir die Zustandsgleichung anwenden, $PV=nRT$ , ersetzen $P/T=nR/V$ . Setzen Sie dies in die obigen Gleichungen ein,

\begin{aligned} \frac{D Q}{T} & = N C_{v} \frac{D T}{T} + \frac{N R}{v} D v \\ \oint \frac{D Q}{T} & = N C_{v} \oint \frac{D T}{T} + N R \oint \frac{D v}{v} \\ \oint \frac{D Q}{T} & = N C_{v} \ln T |_{T}^{T} + N R \ln v |_{v}^{v} \\ \oint \frac{D Q}{T} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{nR}{V} \mathrm dV\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \oint \frac{\mathrm dT}{T} + nR \oint\frac{\mathrm d V}{V}\\ \oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=nC_V \ln T \biggr |_T ^T + nR \ln V \biggr |_V ^V\\ \oint \frac{\mathrm d Q }{T} &=0 \end{align}$

Es gibt jedoch einen kleinen Haken. Sie haben dies für ein ideales Gas bewiesen. Aber was ist das nicht und was ist, wenn das System überhaupt kein Gas ist?
@Vilvanesh Nun, ich kenne keine Möglichkeit, dies im Allgemeinen für ein nicht ideales Gas, flüssig oder fest, zu beweisen. Nimmt man jedoch den Ansatz von Boltzmann zur Entropie an , wird klar, dass die Entropie eine Zustandsfunktion für jede Substanz ist.
Ich glaube nicht, dass Sie einen Carnot-Motor bauen können, der etwas anderes als ideales Gas verwendet. Es ist der effizienteste Motor, da Sie hier nur ideale Gasannäherungen verwenden können (hauptsächlich, dass Ihr Gas keine langreichweitigen Wechselwirkungen aufweist).

ibn Abu · Answer 2

Das ist aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik nicht ersichtlich $dQ,dU,dW$ sind Differentiale für die Integration.

Es muss kein ideales Gas sein, es muss lediglich angenommen werden, dass die Integrale im Sinne von Riemann existieren und bestimmte Funktionen absolut stetig sind. lassen $\epsilon , a >0$ ,

$T_{n}>T_{n-1}>a,|T_{n}-T_{n-1}| < \epsilon$

Unter Verwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik

\begin{aligned} Q_{2} - Q_{1} & = U_{2} - U_{1} + W_{2} - W_{1} \\ \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} D Q & = \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} M C_{v} D T + \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} P D v \\ \sum_{N = 1}^{N = N} \frac{1}{T_{N - 1}} \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} D Q & = \sum_{N = 1}^{N = N} \frac{M}{T_{N - 1}} \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} C_{v} D T + \sum_{N = 1}^{N = N} \frac{1}{T_{N - 1}} \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} P D v \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm Q_2-Q_1 & = \mathrm U_2 - U_1 +\mathrm W_2 - W_1\\ \mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &= \int_{T_{n-1}}^{T_n} m C_V \mathrm dT + \int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \sum_{n=1}^{n=N} \frac{1}{T_{n-1}}\mathrm \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ &=\sum_{n=1}^{n=N}\frac{m}{T_{n-1}} \int_{T_{n-1}}^{T_n} C_V \mathrm dT + \sum_{n=1}^{n=N}\frac{1}{T_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} P \mathrm dV\\ \end{align}$

Wegen folgender Ungleichungen:

| \frac{1}{T_{N - 1}} \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} D Q - \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} \frac{1}{T} D Q | \leq \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{N - 1}} | D Q \leq \int_{Q_{N - 1}}^{Q_{N}} \frac{ϵ}{A^{2}} D Q

$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} dQ-\int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{1}{T} dQ| \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| dQ \le \int_{Q_{n-1}}^{Q_n} \frac{\epsilon}{a^2} dQ$

| \frac{1}{T_{N - 1}} \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} C_{v} D T - \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} \frac{1}{T} C_{v} D T | \leq \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{N - 1}} | C_{v} D T \leq \int_{T_{N - 1}}^{T_{N}} \frac{ϵ}{A^{2}} C_{v} D T

$|\frac{1}{T_{n-1}}\int_{T_{n-1}}^{T_n} C_VdT-\int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{1}{T} C_VdT| \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{n-1}}| C_VdT \le \int_{T_{n-1}}^{T_n} \frac{\epsilon}{a^2} C_VdT$

| \frac{1}{v_{N - 1}} \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} P D v - \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} \frac{1}{T} P D v | \leq \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} | \frac{1}{T} - \frac{1}{v_{N - 1}} | P D v \leq \int_{v_{N - 1}}^{v_{N}} \frac{ϵ}{A^{2}} P D v

$|\frac{1}{V_{n-1}}\int_{V_{n-1}}^{V_n} PdV-\int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{1}{T} PdV| \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} |\frac{1}{T}-\frac{1}{V_{n-1}}| PdV \le \int_{V_{n-1}}^{V_n} \frac{\epsilon}{a^2} PdV$

vermieten $\epsilon \to 0$ wir haben

\int \frac{1}{T} D Q = M \int \frac{1}{T} C_{v} D T + \int \frac{1}{T} P D v

$\int \frac{1}{T} dQ=m\int \frac{1}{T} C_VdT+\int \frac{1}{T} PdV$

\frac{D F}{D Q} = \frac{1}{T}

$\frac{df}{dQ}=\frac{1}{T}$

\frac{D G}{D T} = \frac{C_{v}}{T}

$\frac{dg}{dT}=\frac{C_V}{T}$

\frac{D H}{D v} = \frac{P}{T}

$\frac{dh}{dV}=\frac{P}{T}$

Wenn $f,g,h$ sind dann absolut stetig

\oint \frac{1}{T} D Q = M \oint \frac{1}{T} C_{v} D T + \oint \frac{1}{T} P D v = 0

$\oint \frac{1}{T} dQ=m\oint \frac{1}{T} C_VdT+\oint \frac{1}{T} PdV=0$

Lieber ibn Abu. Willkommen bei Phys.SE. Es ist normalerweise verpönt, identische Antworten direkt zu kopieren und einzufügen . (Das Problem ist, wenn alle anfangen, identische Antworten massenhaft zu kopieren und einzufügen.)

Beweis für ∮dQT=0∮dQT=0\oint\frac{dQ}{T}=0 in einem reversiblen Prozess

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Prabhat

ibn Abu

QMechaniker

Irreversible Prozesse werden bei Entropieberechnungen nicht berücksichtigt?

Ableitung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik aus einem irreversiblen Carnot-Prozess

Haben vergangene Zustände eines Systems eine geringere Entropie?

Thermodynamische Definition der Entropie, die reversible Prozesse beschreibt

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Nichtumkehrbarkeit des Zerfalls instabiler Kerne (wie Uran, Plutonium) und dem 2. Prinzip der Thermodynamik?

Reversibel vs. Quasistatisch

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Warum können wir sagen, dass d¯Q=TdSd¯Q=TdS\bar{d}Q=TdS?

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Definition von Entropie für reversible und irreversible Prozesse