Beziehung zwischen zeitlicher Kohärenz und Intensität des Interferenzmusters

Experimentelle Beobachtung

Das erste, was Sie tun müssen, um dieses Phänomen zu verstehen, ist, die Newtonschen Ringe aus weißem Licht zu betrachten, wie ich hier ausführlicher bespreche .

Wir können nur ein schmales Wellenlängenband sehen, also betrachten wir die Summe der Interferenzmuster mit Nullen an den Radien$0,\,\sqrt{4\,R\,\lambda},\,\sqrt{8\,R\,\lambda},\,\cdots$für$\lambda$variieren zwischen$400{\rm nm}$Und$750{\rm nm}$Wo$\lambda$die Wellenlänge für die betreffende Lichtkomponente ist und$R$der Krümmungsradius der sphärischen Oberfläche, die im Experiment mit Newtons Ringen gegen die optische Ebene gedrückt wird. Dies bedeutet, dass die erste Null in einem Bereich von Radien auftritt, der sich nur über einen Bereich von ungefähr ändert$\pm 20\%$- die "Schmiere"-Breite ist deutlich kleiner als der Abstand zwischen der ersten und der zweiten Null. Selbst bei der Verteilung über sichtbare Wellenlängen stimmen die ersten Nullen also ziemlich gut überein. Die zweite null weniger gut und so weiter. Sie sehen eine Reihe von farbigen Nullen - die Färbung kommt daher, dass verschiedene Wellenlängen ihre Nullen an verschiedenen Positionen haben, aber die Nullen sind immer noch gut genug ausgerichtet, um ihre Struktur zu sehen. Wenn Sie sich weiter von der Mitte entfernen, werden die Nullen dichter gepackt und die Genauigkeit der Ausrichtung für alle sichtbaren Wellenlängen wird gröber als der Nullabstand, was bedeutet, dass wir keine Streifen mehr sehen können. Genau das passiert in Newtons Ringen – die Randsichtbarkeit verblasst schnell mit zunehmender Entfernung vom Zentrum.

Lassen Sie uns quantitativ und schmutzig werden

Angenommen, wir haben zwei Strahlen, die in einem Interfeometer interferieren; Lassen Sie einen gewissen Versatz, eine große (im Vergleich zur Wirkung auf das Instrument) Wegdifferenz bestehen$\Delta$zwischen ihnen und einer Messgröße$X$. Dann ist die Stärke der Interferenz bei rein monochromatischem Licht:

$$\begin{equation} \label{BasicInterference} p(\Delta + X)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{i\,\frac{k}{2}\,(\Delta + X)} - e^{-i\,\frac{k}{2}\,(\Delta + X)}\right) \right|^2 = 2\,\sin\left(\frac{k}{2}\,(\Delta + X)\right)^2 = 1-\cos\left(k\,(\Delta+X)\right) \end{equation}$$

Wo$k$ist die Wellenzahl. Nehmen wir nun an, dass eine Wellenlängenverteilung vorhanden ist, sodass wir die inkohärente Summe all dieser Interferenzterme bilden müssen:

$$\begin{equation} p(\Delta + X)=\frac{\int_{-\infty}^\infty\,\left(1-\cos\left(\left(k_0+\frac{\omega}{c}\right)\,(\Delta+X)\right)\right)\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega}{\int_{-\infty}^\infty\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega} = 1- \frac{\int_{-\infty}^\infty\,\cos\left(\left(k_0+\frac{\omega}{c}\right)\,(\Delta+X)\right)\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega}{\int_{-\infty}^\infty\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega} \end{equation}$$

Wo$S(\omega)$wenn das Spektrum der Ausbreitung,$k_0$ist die mittlere Wellenzahl und$\omega$die Kreisfrequenzabweichung von dieser zentralen Wellenzahl / Frequenz. Es ist nun einfach, die Streifensichtbarkeit bei gegebenem Spektrum zu berechnen$S(\omega)$.

Lorentzsche Linienformen

Mit$S(\omega) = \left(1+\frac{4\,\omega^2}{\Omega^2}\right)^{-1}$Wo$\Omega$die volle Breite, halbe maximale Frequenzstreuung ist, erhalten wir:

$$\begin{equation} p(\Delta + X)=1-\cos\left(k_0\,(X+\Delta)\right) \,e^{-\left|\Omega\,\frac{X+\Delta}{2\,c}\right|} \end{equation}$$

und damit die Randsichtbarkeit$\mathscr{V}$Ist$e^{-\left|\Omega\,\frac{X+\Delta}{2\,c}\right|}$. Mit zunehmender spektraler Breite ist die Summe der beiden Strahlen nahezu konstant, mit einer kleinen sinusförmigen Variation darüber. Wir sehen also Streifen, aber sie sind eine feine Streifenbildung bei einer fast konstanten Beleuchtung.

Wenn wir diesen Ausdruck in einen in Bezug auf die volle Breite, halbe maximale Wellenlängenspreizung umwandeln$\Lambda$wir bekommen:

$$\begin{equation} \mathscr{V} \approx e^{-\left|\Omega\,\frac{\Delta}{2\,c}\right|} = \exp\left(-\left|\pi \frac{\Lambda\,\Delta}{\lambda_0^2}\right|\right) \end{equation}$$

Wo$\lambda_0$ist die Mittenwellenlänge. Die Kohärenzlänge ist definiert als die Pfaddifferenz, die benötigt wird, um die Sichtbarkeit zu verringern$1/e$; das ist:

$$\begin{equation} L_c=\frac{\lambda_0^2}{\pi\,\Lambda} = \frac{2\,c}{\Omega} = \frac{c}{\pi\,\Delta\nu} \end{equation}$$

Wo$\Delta\nu$ist die (nichtwinklige) Frequenzspreizung mit voller Breite und halber Maximalfrequenz. Wir können auch die Kohärenzlänge als motivieren$1/e$Korrelationslänge, wenn wir uns die Lichtwelle als zufälligen Prozess mit spektraler Leistungsdichte vorstellen$S(\omega) =\frac{2\,\sqrt{2}\,\sigma^2}{\sqrt{\pi}\,\Omega}\, \left(1+\frac{4\,\omega^2}{\Omega^2}\right)^{-1}$, Wo$\sigma$ist die Varianz. Nach dem Wiener-Khinchin-Theorem ist die Autokorrelationsfunktion der Lichtzeitreihe$R(\tau) = \sigma^2\,e^{-\left|\tau\frac{\Omega}{2}\right|}$, woher die$1/e$Korrelationszeit ist$2/\Omega$und so die$1/e$Korrelationslänge ist$2\,c/\Omega$wie vorher.

Tatsächlich ist es nicht schwer, das für jedes Spektrum gültige allgemeine Ergebnis zu zeigen, dass die Randsichtbarkeit gleich der Autokorrelationsfunktion ist$R$der damals ausgewerteten normalisierten (Einheitsvarianz) Lichtzeitreihen$\Delta/c$Verzögerung durch den Pfadunterschied$\Delta$:

$$\mathscr{V} = \frac{R\left(\frac{\Delta}{c}\right)}{R\left(0\right)}$$

Sie beweisen dieses Ergebnis mit dem Satz von Wiener-Khinchin.

Gaußsche Linienformen

Wenn das Spektrum Gauß ist, so dass$S(\omega) = \exp\left(-\frac{\omega^2}{2\,\Omega^2}\right)$also das jetzt$\Omega$die effektive Frequenzstreuung oder Frequenzstandardabweichung ist, erhalten wir:

$$\begin{equation} \mathscr{V} \approx e^{-\frac{\Delta^2\,\Omega^2}{2\,c^2}} = \exp\left(-2\,\pi^2\,\frac{\Delta^2\,\Lambda^2}{\lambda_0^4}\right) \end{equation}$$

wo jetzt$\Lambda$ist die RMS-Wellenlängenstreuung und die$1/e$Kohärenzlänge ist:

$$\begin{equation} L_c=\frac{\lambda_0^2}{\sqrt{2}\,\pi\,\Lambda} = \frac{\sqrt{2}\,c}{\Omega} = \frac{c}{\sqrt{2}\,\pi\,\Delta\nu} \end{equation}$$

Wo$\Delta\nu$ist die effektive Frequenzstreuung.

Die kurze, intuitive Antwort lautet, dass die zeitliche Kohärenz mit der Randsichtbarkeit als Funktion der Zeitverzögerung zusammenhängt. Wenn Sie den einen Strahl stark verzögern können (im Vergleich zur Oszillationszeitskala) und die Streifen immer noch sichtbar sind, haben Sie eine starke Kohärenz. Wenn andererseits die Streifen schnell verschwinden, wenn Sie den Strahl verzögern, gibt es wenig Kohärenz.

Ihr Gedankenexperiment, ein paar kohärente Strahlen unterschiedlicher Farbe in ein Interferometer zu stecken, ist ein wenig irreführend. Dies liegt daran, dass die Sichtbarkeit der Streifen auch bei langen Verzögerungen erhalten bleibt, obwohl das Interferenzmuster, wie Sie erwähnt haben, Schwebungen zwischen den Frequenzen beinhaltet. Ein besseres Gegenbeispiel zu einem monochromatischen Laser wäre eine Breitbandlampe (wie in einem FTIR-Spektrometer). Die Breitbandlampe hat einen großen Interferenzstreifen bei einer Zeitverzögerung von null, aber da sie inkohärent ist, verschwinden die Streifen fast augenblicklich mit jeder Verzögerung.