Herleitung der Fraunhofer-Beugungsformel

Lassen Sie uns ein Diagramm des Lichts zeichnen, das auf den Schlitz trifft und in einem bestimmten Winkel gebeugt wird:

Der Lichtstrahl am Boden des Schlitzes hat eine Phasenverzögerung,$\phi$, verglichen mit dem Strahl an der Spitze des Schlitzes, weil er weiter reisen muss. Nehmen wir an, dass der Winkel zufällig derjenige ist, bei dem die Phasenverzögerung ist$2\pi$.

Fragen wir nun, was die Phasenverzögerung für einen Lichtstrahl ist, der irgendwo aus dem Schlitz zwischen dem oberen und dem unteren Strahl kommt:

Der Lichtstrahl kommt aus der Ferne$x$gemessen von der Oberkante des Schlitzes so$0\le x \le a$. Aus dem Diagramm ist (hoffentlich) ersichtlich, dass die Phasenverzögerung dieses Lichtstrahls:

$$\phi(x) = 2\pi\frac{x}{a} \tag{1}$$

Stellen Sie sich nun zwei Lichtstrahlen vor, von denen einer von der Position kommt$x$und einer kommt aus$x+a/2$. Dies könnten beispielsweise die beiden Strahlen sein, die Sie in der Frage beschreiben, einer von der Oberseite des Schlitzes ($x=0$) und eine aus der Mitte ($x=a/2$), aber wir bleiben beim allgemeinen Fall von Werten von$x$.

Die Phasenverzögerung des Strahls aus$x$ist durch obige Gleichung (1) gegeben, und die Phasenverzögerung des Strahls aus$x = a/2$wird gegeben von:

$$\begin{align} \phi(x+a/2) &= 2\pi\frac{x+a/2}{a} \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{a/2}{a}\right) \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{1}{2}\right) \\ &= 2\pi\frac{x}{a} + \pi \\ &= \phi(x) + \pi \end{align}$$

Wir haben also herausgefunden, dass zwei beliebige Strahlen durch einen Abstand voneinander getrennt sind$a/2$haben eine Phasendifferenz von$\pi$. Dies beantwortet Ihre Frage, warum ein Strahl von der Oberseite des Schlitzes und der Mitte des Schlitzes eine Phasendifferenz von hat$\pi$, aber es ist ein allgemeineres Ergebnis.

Die Bedeutung dieses Ergebnisses besteht darin, dass zwei Wellen mit einer Phasendifferenz von$\pi$stören destruktiv und heben sich gegenseitig auf. Also für jeden Strahl im Bereich$0 \le x \le a/2$, dh von der oberen Hälfte des Schlitzes, gibt es einen entsprechenden Strahl bei$x+a/2$, dh von der unteren Hälfte des Schlitzes, die eine Phasendifferenz von hat$\pi$und greift daher destruktiv ein.

Dies bedeutet, dass das gesamte Licht, das in dem von mir gezeichneten Winkel emittiert wird, destruktiv interferiert und die Gesamtintensität null ist. Dieser Winkel, dh der Winkel, bei dem die Phasenverzögerung über den gesamten Schlitz geht$2\pi$, entspricht einem dunklen Bereich im Beugungsmuster.