Brechungsgesetz aus der skalaren Beugungstheorie

Ich versuche herauszufinden, ob das Snellsche Brechungsgesetz aus der Skalarbeugungstheorie abgeleitet werden kann .

Der Aufbau ist folgender: Licht (ebene Welle, mit Wellenvektor k → ich = ( k X , k j , k z ) ) fällt auf eine flache Grenzfläche, die als xy-Ebene angenommen wird; die Einfallsseite hat einen Brechungsindex N ich . Ich möchte den Wellenvektor der gebrochenen Strahlen herausfinden k → , auf der anderen Seite der Grenzfläche, die einen Brechungsindex hat N . Natürlich gehe ich davon aus, dass die Größen von Wellenvektoren proportional zu den Brechungsindizes der jeweiligen Medien sind; dh | k | / | k ich | = N / N ich .

Ich beginne mit dem Fresnel-Beugungsintegral, mit ebenem Wellenlicht

U ( ξ , η , z = 0 ) = exp ⁡ ( ich [ k X ξ + k j η + 0 ] )
und kam zu dem Punkt, das zu zeigen
U ( X , j , z ) = exp ⁡ ( ich [ k X X + k j j + k z ' z ] ) ,
Wo
k z ' = k − k X 2 + k j 2 2 k .

Ich war froh zu sehen, dass dieses Feld das gleiche hat k X Und k j Werte, aber egal wie ich damit spiele k z ' , kann ich nicht zeigen, dass es mit dem Snellschen Gesetz vereinbar ist.

Irgendwelche Hinweise?

@George: Danke, ich habe das Setup, in dem die Berechnungen durchgeführt werden, geklärt, wo ich angegeben habe, wo die Brechungsindizes verwendet werden. Ich kenne die elegante Ableitung nach Fermats "Least Time"-Prinzip; Ich erforsche/lerne die skalare Beugungstheorie und wollte sehen, ob ich das zeigen kann! :)
Prabhakar, vergib mir, wenn mein Kommentar abweisend klang; es sollte nicht sein. Meine Erfahrung stammt alle aus der tatsächlichen kommerziellen Industrie; die sich normalerweise auf den einfachsten Weg zu einer Lösung konzentriert (auch weniger kostspielig). Aber wenn es Ihr Ziel war, die Verwendung der Beugungstheorie zu verstehen, ist das ein anderes Thema. Ich würde auch die Erwähnung von Born und Wolfe unterstützen. Man könnte fast sagen, wenn es nicht drin ist, braucht man es auch nicht zu wissen!

Antworten (3)

In der Skalarwellentheorie werden Sie einfach die Kontinuität des Skalarfelds über die Grenze erzwingen.

Die Argumentation ist die gleiche, unabhängig davon, ob Sie Reflexionen berücksichtigen oder nicht, deren Größe und Form aus der Skalartheorie erhalten werden kann, indem eine weitere Randbedingung kontinuierlicher normaler Ableitungen über die Grenzfläche gesetzt wird.

Mit oder ohne Reflexionen ist die skalare Variation entlang der Grenzfläche auf der Einfallsseite exp ⁡ ( ich k N ich Sünde ⁡ θ ich X ) , Wo N ich ist der Brechungsindex des Mediums auf der Eintrittsseite der Grenzfläche, k die Freespace-Wellenzahl und X wird entlang der Grenzflächenebene in der Einfallsebene (Ebene, die Wellenvektor und Grenzflächennormale enthält) gemessen. Der Sünde ⁡ θ ich Der Faktor entsteht einfach, weil der Wellenvektor relativ zur Grenzflächennormalen schief ist: Er ist die Komponente des Wellenvektors in der Grenzflächenebene.

Aus dem gleichen Grund ist die skalare Variation entlang der Schnittstelle auf der Ausgangs-(Übertragungs-)Seite einfach exp ⁡ ( ich k N T Sünde ⁡ θ T X ) , Wo N T ist der Brechungsindex auf dieser Seite.

Für die Stetigkeit des Skalarfeldes müssen wir also haben:

exp ⁡ ( ich k N ich Sünde ⁡ θ ich X ) = exp ⁡ ( ich k N T Sünde ⁡ θ T X ) , ∀ X ∈ R

was nur wahr sein kann, wenn

N ich Sünde ⁡ θ ich = N T Sünde ⁡ θ T

was natürlich Snells Gesetz ist.

Das vollständige Vektorfeldbild findet sich in der Herleitung der Fresnel-Gleichungen, wie sie beispielsweise in Abschnitt 1.5 der sechsten Ausgabe von:

Born und Wolf, „Grundlagen der Optik“

Die obige einfachere Ableitung ist jedoch allgemeiner, da sie auch für Skalarwellen wie Schall funktioniert.

Vielen Dank, sehr geschätzt. Ich kann jedoch die Welle, in der Sie verwendet wurden, nicht erkennen e X P ( ich k N ich , Sünde ⁡ θ ich X ) ; soll ich das so verstehen exp ⁡ ( ich k N ^ ich + X ^ Sünde ⁡ θ ich ) ?
Vergiss das; Ich soll ich nehmen: exp ⁡ ( ich k N ich , Sünde ⁡ θ ich X ) bedeutet exp ⁡ ( ich k N ich ( z ^ cos ⁡ θ ich + X ^ Sünde ⁡ θ ich ) ) , Wo z ^ Und X ^ sind normale und tangentiale Einheitsvektoren. Wenn ja, macht alles Sinn.
@PrabhakarBhimalapuram Genau, obwohl wir nur Variationen innerhalb der Ebene betrachten, also z = 0 . Ich habe ein paar abtrünnige Kommas in meinen Gleichungen korrigiert - sie lesen sich jetzt vielleicht besser.

Nun, ich bin mir nicht sicher, wo in Ihrer Mathematik die Brechungsindizes der Medien oder sogar die Ausbreitungsgeschwindigkeiten versteckt sind, daher ist mir nicht klar, dass das Snellsche Gesetz aus Ihrer Beugungstheorie herausfallen sollte.

Das Snell-Gesetz kann üblicherweise aus dem Fermat-Prinzip erhalten werden, indem einfach nach der minimalen Weglänge über eine Mediengrenze aufgelöst wird.

Beantwortung meiner eigenen Frage: Georges Kommentar und Rods Antwort, obwohl nicht die genaue Antwort, führen direkt dazu, dass ich herausfinde, dass die fehlenden "Mathematik" -Schritte waren! (was unten steht)

Die Fresnel-Beugungsformel erweitert im Grunde (irgendwo in ihrer Ableitung) Taylor die Quadratwurzel, dh R = ( X 2 + j 2 + z 2 ) = z ( 1 + X 2 + j 2 2 z 2 ) , mit einer Annäherung X 2 + j 2 << z 2 . Was ich also für die normale Komponente des Wellenvektors nach der Brechung hatte, war k − k X 2 + k j 2 2 k im Grunde die gleiche Näherung für k 2 − ( k X 2 + k j 2 ) , was zeigt, dass der Wellenvektor nach der Brechung ist ( k X , k j , k 2 − ( k X 2 + k j 2 ) , wo der Wellenvektor vor der Brechung war ( k X , k j , k z ) . Angesichts dessen k X 2 + k j 2 + k z 2 / k = N ich / N , erfüllen die Wellenvektoren das Snell-Gesetz für die Brechung!

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