Wie hängt das Rayleigh-Kriterium mit der Abbe-Grenze zusammen?

Beide Gleichungen sind in der Tat strukturell ähnlich, wobei die Abbe-Grenze durch gegeben ist$d= \dfrac{\lambda}{2\mathrm{NA}}$

Und die Rayleigh-Grenze ist gegeben durch$d =1.22 \dfrac{\lambda} {2\mathrm{NA}}= 0.61\dfrac{\lambda} {\mathrm{NA}}$

wobei Lambda die Wellenlänge ist und$\mathrm{NA}$die numerische Apertur der Lichtsammellinse.

Der Faktor 1,22 kommt von der Definition der Bessel-Funktion 1. Art, der Tatsache, dass 1. Minima des Beugungsmusters bei 1,22 Einheiten von der zentralen Null erscheinen.

Das Rayleigh-Kriterium ist somit eine Modifikation der Abbe-Auflösungsgrenze. Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass zur Auflösung von 2 nahe beieinander liegenden PSFs die zentralen Maxima von einem genau auf den ersten Minima des zweiten liegen sollten. Da das Airy-Muster durch die Bessel-Funktion definiert ist, sollte der Mindestabstand zwischen den beiden Mustern sein$1.22 \lambda/ 2\mathrm{NA}$statt nur$\lambda/2\mathrm{NA}$wenn man bedenkt, dass die ersten Minima beim 1,22-fachen der Einheit von den zentralen Maxima liegen werden.

Da @Felix und @Caterina immer noch nicht zufrieden sind, werde ich meine 2 Cent hinzufügen, für die ich hoffe, dass sie richtig sind.

Soweit mir bekannt ist, hat Rayleigh sein Kriterium der Lichtbeugung an Schlitzen entwickelt, während Abbe an der Mikroskopie arbeitete. Daher haben Sie in einem einen Brechungsindex und in dem anderen nicht. Sie könnten jedoch die Rayleigh-Version in die Nähe der Abbe-Version bringen. Rayleigh erklärte Folgendes:

$$\begin{equation} \theta_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda}{d}, \end{equation}$$

Wo$\theta_{min}$stellt den minimalen Winkelradius einer Airy-Scheibe dar, gesehen von der Mitte der kreisförmigen Öffnung,$\lambda$die Wellenlänge des Lichts und$d$der Durchmesser der kreisförmigen Öffnung. Das ist jetzt Winkeltrennung und wir müssen sie über auf räumliche Trennung bringen$x_{min} = R \sin\theta_{min}$und wir bekommen

$$\begin{equation} x_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda R}{d}, \end{equation}$$

Wo$R$der Abstand zwischen dem Schlitz und dem Abbildungsschirm ist. Jetzt können wir die konvertieren$R/d$in die$\sin \alpha$über$\sin \alpha = \frac{d/2}{R}$, und wir bekommen

$$\begin{equation} x_{min} \approx 1.22 \frac{\lambda}{2\sin\alpha} \approx 0.61\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \end{equation}$$

An dieser Stelle können wir einführen, dass es auf einer Seite des Schlitzes einen anderen Brechungsindex gibt und$\sin\alpha$geht zu$n\sin\alpha$.

$$\begin{equation} x_{min} \approx 0.61\frac{\lambda}{n \sin\alpha} \approx 0.61\frac{\lambda}{NA}. \end{equation}$$

Und das ist sehr nah an Abbes Grenze von

$$\begin{equation} x_{min} = 0.5 \frac{\lambda}{NA}. \end{equation}$$

Alles in allem ist es also nur so, wie Sie den Mindestabstand definieren, bei dem Sie zwei Quellen noch trennen können.