CP Verletzung der CKM-Matrix

Der Text von Lumo war vielleicht etwas verwirrend, aber es ist umgekehrt: Die Möglichkeit, die Phasen der Vektoren neu zu definieren, führt zu einer Reduzierung unabhängiger Winkel und Phasen in der CKM-Matrix, aber es gibt immer noch eine komplexe Phase, die dies nicht kann weggedreht werden.

Stellen Sie sich vor, Sie ändern die Phasen der Kets$u,c,t;d,s,b$durch sechs multiplikative Koeffizienten, die Exponentiale von$i$mal die ersten sechs Buchstaben des griechischen Alphabets, z

$$|u\rangle \to |u\rangle e^{-i\alpha}$$ und ähnlich für die anderen fünf Staaten. Das entspricht der folgenden Neudefinition von $V=V_{CKM}$: $$V \to \pmatrix { e^{i\alpha}&0&0\\ 0&e^{i\beta}&0\\ 0&0&e^{i\gamma} } V \pmatrix { e^{-i\delta}&0&0\\ 0&e^{-i\epsilon}&0\\ 0&0&e^{-i\zeta} }$$ Beachten Sie jedoch, dass Sie alle diese sechs griechischen Buchstaben durch dieselbe Konstante ändern $$(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta) \to (\alpha+\omega,\beta+\omega,\gamma+\omega,\delta+\omega,\epsilon+\omega,\zeta+\omega)$$ das Produkt der 3 Matrizen auf der rechten Seite oben ist einfach $V$Und $V$wird sich nicht ändern. So können Sie ohne Verlust der Allgemeinheit einstellen $\zeta=0$und es gibt nur 5 unabhängige Phasen der Ket-Vektoren, die zur Neudefinition verwendet werden können $V$.

Jetzt,$V$ist a priori allgemein$U(3)$Matrix, weil es sich um eine Übergangsmatrix zwischen zwei orthonormalen Basen desselben dreidimensionalen komplexen Raums handelt. Eine solche Matrix kann durch 9 reelle Parameter beschrieben werden. Warum? Es kann geschrieben werden als$V=\exp(iH)$Wo$H$ist eine allgemeine hermitesche Matrix. Und eine allgemeine hermitische Matrix hat 9 unabhängige reelle Parameter; buchstäblich 1/2 der 18 Parameter im Komplex$3\times 3$Matrix. (Es ist das obere Dreieck über der Hauptdiagonale: Die Quadrate, die vollständig darin sind, sind unabhängig und komplex; die Einträge auf der Diagonale müssen reell sein, also nur ein reeller Parameter, und die Kästchen unter der Diagonale werden durch die über der Diagonalen gegeben diagonal wegen der Hermitizitätsbedingung.)

Also der Raum von vornherein möglich$U(3)$Matrizen$V$ist 9-reelldimensional. Die Phasenneudefinition führt jedoch zu Identifikationen in diesem 9-dimensionalen Raum in der Weise, dass jedes Element mit einem 5-dimensionalen Raum von physikalisch äquivalenten Werten der Matrix identifiziert wird$V$. Jetzt subtrahieren

$$9 - 5 = 4$$ und Sie sehen, dass der Raum von physikalisch inäquivalenten Matrizen $V$oder der Raum der "Äquivalenzklassen" ist 4-dimensional. Wenn wir 3 bekommen, würde das wahrscheinlich bedeuten, dass die Matrix real gemacht werden kann, ein Element von $SO(3)$, eine dreidimensionale Drehung, die von 3 Winkeln abhängt. Wir haben jedoch 4 Parameter erhalten, was bedeutet, dass wir den General nicht bringen können $U(3)$Matrix $V$in eine reelle Form durch Neudefinition der Phasen der sechs Ket-Vektoren.

Es bedeutet, dass die allgemeinste Matrix$V$muss immer noch eine komplexe Matrix sein, und es gibt keine Möglichkeit, die Einträge real zu machen, ohne die Physik zu ändern. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten, die allgemeinste Matrix zu parametrisieren$V$. Einer der Einträge kann vorgenommen werden$r\exp(i\delta_{CP})$wobei das Exponential die CP-verletzende Phase ist.

Wenn Sie die gleiche Übung mit 2 Generationen und nicht nur 4 wiederholen würden, würden Sie feststellen, dass die Neudefinition der 4 (oder 3) Phasen der Ket-Vektoren für die Quarks ausreicht, um eine allgemeine zu bringen$U(2)$Matrix in die reelle Form, dh in ein Element von$SO(2)$, und es gäbe keine CP-Verletzung. Es liegt daran, dass a$U(2)$Matrix hat$4$echte Parameter und 3 davon können durch die Phasen neu definiert werden, sodass der Unterschied nur der einzelne 1-Winkel ist$SO(2)$. Drei Generationen sind also die Mindestzahl, die eine CP-Verletzung zulässt.

Nur um sicher zu sein, ein Komplex$V$verursacht eine CP-Verletzung, da die CP-Symmetrie-Art des Komplexes die Felder in der Lagrange-Funktion oder äquivalent die Parameter in den Massenmatrizen konjugiert. Wenn Sie also ein typisches "Maß der CP-Verletzung" berechnen, hängt es vom Winkel ab$\delta_{CP}$über.