Jarlskog-Invariante und ihr mathematischer Ursprung

CP-Verletzung liegt in den schwachen Wechselwirkungen vor, wenn

  1. Es gibt keine Entartungen in den Up-Quark/Down-Quark-Matrizen
  2. Die Jarlskog-Invariante J = ICH M ( v u S v C B v u B ∗ v C S ∗ ) ist nicht verschwindend

Außerdem sind alle CP-verletzenden Effekte proportional zu J .

Ich bleibe beim Zeigen hängen, wie alle CP-verletzenden Effekte proportional dazu sind J . Ist die Jarlskog-Invariante auch eine bekannte mathematische Eigenschaft einer einheitlichen Matrix? Was wird quantifiziert? Ich würde dies gerne wissen, soweit ich dies auf größere CKM-Matrizen verallgemeinern kann.

Bearbeiten: Ich habe meine Frage schlecht geschrieben. Ich schreibe es hier um:

Frage:

  1. Wie leite ich konstruktiv ab J = ICH M ( v u S v C B v u B ∗ v C S ∗ ) , und wie verallgemeinere ich dies auf willkürlich N × N unitäre Matrizen ?
  2. Die Jarlskog-Invariante ist bei einem Basiswechsel invariant. Wie kann man das elegant darstellen?
Xref: Ich habe diese verwandte Frage auf MathOverflow gepostet.

Antworten (1)

Cecilia Jarlskog schlug diese Invariante bereits 1973 vor und sie wurde in der Originalarbeit von Kobayashi-Maskawa erwähnt.

Für drei Familien ist es leicht zu sehen, warum es ungleich Null ist, wenn die Einheitsmatrix in ist U ( 3 ) kann nicht auf das reale, orthogonale dh gebracht werden Ö ( 3 ) form. Das liegt daran, dass nach den 5 Phasen Neudefinitionen der Up-Type-Quark- und Down-Type-Quark-Eigenzustände, alle S U ( 3 ) Matrix kann in die Form einer gebracht werden S Ö ( 3 ) Matrix ausgedrückt durch 3 reelle Winkel θ ich J und eine einzige extra komplexe Phase δ , naja, ich meine exp ⁡ ( ich δ ) , zu einem Matrixelement hinzugefügt.

In dieser Parametrisierung der S U ( 3 ) Matrix, die Invariante ist einfach

J = C 12 C 13 2 C 23 S 12 S 13 S 23 Sünde ⁡ δ .
Beachten Sie, dass es genau dann verschwindet, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, dh entweder wenn die komplexe Phase ist δ ist null bzw π Mod 2 π – dann ist die Matrix explizit reell orthogonal und CP-erhaltend – oder wenn einer der Sinus oder Cosinus der Winkel verschwindet, dann ist es auch möglich, die Matrix in eine reelle Form zu bringen.

Sehen

http://physics.brown.edu/physics/undergradpages/theses/2010Theses/GoldfarbThesis_Final.pdf

insbesondere Seiten 7, 8, 11, 12 für einige Details und Formeln. Insbesondere die erste „Standard“-Formel auf Seite 7 macht deutlich, dass die S U ( 3 ) Matrix ist real – oder kann real gemacht werden – wann immer einer der Faktoren in J verschwindet.

BEARBEITEN:

Die hinzugefügten Fragen haben nichts mit der ursprünglichen zu tun, können aber auch beantwortet werden. Es gibt keinen "konstruktiven Weg", um die Jarlskog-Invariante abzuleiten. Es war eine kluge Vermutung, eine vorgeschlagene Konvention. Eine Größe, die Null ist, wann immer sie es sein sollte, ist offensichtlich nicht eindeutig definiert.

Außerdem ist es falsch, eine kanonische Verallgemeinerung auf größere einheitliche Matrizen zu erwarten. Darüber hinaus haben größere Matrizen tatsächlich mehrere unabhängige Quellen der CP-Verletzung, im gleichen Sinne wie eine 2 x 2-Matrix für 2 Familien keine hat. Es wäre also natürlicher, mehrere Invarianten für größere Matrizen zu haben und zu sagen, dass CP erhalten bleibt, wenn alle Null sind. Aber noch einmal, diese Invarianten wären in keiner Weise einzigartig.

Was die dritte Frage betrifft, die Unabhängigkeit auf Basen, ist trivial zu sehen. Die CKM-Matrix v ist die Übergangsmatrix, die drei bestimmte Masseneigenzustände auf die abbildet S U ( 2 ) Partner von drei anderen bestimmten Eigenzuständen. Alle diese sechs Eigenzustände werden bis auf eine Phase eindeutig bestimmt (unter der Annahme, dass sie normalisiert sind).

Aber das ist leicht zu sehen J unter diesen sechs Phasenwechseln unveränderlich ist. Ändern Sie beispielsweise die Phase der B Eigenvektor durch exp ⁡ ( ich β ) . Diese Phase wird abgebrochen J Weil J hängt von dieser Phase nur über v C B Und v u B ∗ Faktoren: bei beiden B ist der zweite Index also die Abhängigkeit von β ist dasselbe, aber das zweite Matrixelement ist komplex konjugiert, sodass sich die Phase aufhebt. Ebenso kann man die Aufhebung der fünf anderen möglichen Phasen verifizieren und das beweist anhand dessen die Unabhängigkeit.

Danke für die Antwort. Aber ich wusste bereits das meiste von allem, was Sie geschrieben haben, was bedeutet, dass ich die falsche Frage gestellt habe. Ich habe meine Frage in der Bearbeitung umgeschrieben. Würden Sie es bitte noch einmal überprüfen? Danke!
Komm schon, die neuen Fragen haben nichts mit den alten zu tun. Jarlskog hat es nicht konstruktiv "abgeleitet" - es war eine kluge Vermutung, eine Konvention (wir suchen nur nach einer Größe, die nicht Null ist, wenn es sein sollte, und der genaue Wert einer solchen Größe ist eindeutig nicht eindeutig) und da ist keine "kanonische" Verallgemeinerung auf größere Matrizen. Bei größeren Matrizen gibt es viele CP-verletzende Winkel, nicht nur einen, also sollten Sie auch mehrere Invarianten haben.
Natürlich haben meine neuen Fragen nichts mit den ursprünglichen zu tun – das passiert, wenn die ursprünglichen Fragen nicht die richtigen waren. Ok, jetzt ist meine Folgefrage zu Ihrer Antwort: Welche Strategie muss verfolgt werden, um die verschiedenen Invarianten in – sagen wir – dem 4x4-Fall zu konstruieren?
Entschuldigung, es ist eine komplizierte technische Frage mit vielen Feinheiten mathematischer und konzeptioneller Natur. Ich werde keine komplizierte Antwort schreiben, vor allem, weil Sie am Ende sagen könnten, dass Sie an der Antwort sowieso nicht interessiert waren.
Ok, kein Problem! Das Eintippen einer langen Antwort kann sicherlich eine Weile dauern. Gibt es eine Stelle in der Literatur, an der diese mathematischen Feinheiten bezüglich der Jarlskog-Invariante diskutiert werden?
Lubos ist krank. Aber google invariante "cp-Verletzung" "vier Generationen" und du wirst Papiere finden.
@LubošMotl, ist das wirklich wahr "oder wenn einer der Sinus oder Cosinus der Winkel verschwindet, ist es in diesem Fall auch möglich, die Matrix in eine reale Form zu bringen ." ? Ich dachte, es ist nur möglich, wenn S 13 =0. Können Sie eine Referenz geben?
Ich verstehe Ihren Kommentar nicht, Benutzer. Ihr Kommentar entspricht genau der ursprünglichen Frage und meine Antwort wurde geschrieben, um diese Frage zu beantworten. Warum fragen Sie also erneut? Offensichtlich liegt eine CP-Verletzung genau dann vor, wenn die Matrix nicht in eine reale Form gebracht werden kann. Also selbst wenn S 13 = 0 aber einige der anderen Sinus- und Kosinuseingaben J sind also Null J = 0 , dann ist es möglich, die Matrix in eine reelle Form zu bringen. Die Transformation, die dazu benötigt wird, ist anders als die, die Sie wahrscheinlich im Sinn haben, aber sie existiert .
@LubošMotl, das Zitat in meinem Kommentar stammt aus Ihrer Antwort (siehe direkt unter der Definition von J), in der Sie erwähnt haben, dass die U-Matrix realisiert werden kann, wenn einer der Sinus- oder Kosinuswerte der Winkel Null ist . Aber aus der Standardparametrisierung sehen wir das if S 13 = 0 , dann ist nur die U-Matrix reell.
Aber die Standardparametrierung ist nicht die einzige Parametrierung. Wenn die Matrix in der Standardparametrisierung komplex ist, heißt das nicht, dass sie nicht in eine reale Form gebracht werden kann.
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