Nein nein Nein! Absolut keine Summen in (1) .
(1) ist dasselbe wie (2), oder besser gesagt, die 9 äquivalenten Schreibweisen (1) beinhalten auch (2). Ich werde dies nur mit dem Text von M. Schwartz (29.91-2) für den kombinatorisch identischen Quarksektor verankern , von dem ich weiß, dass Sie diese Frage zuvor im Wesentlichen darauf gestützt haben .
Griechische Indizes bezeichnen Flavour- und lateinische Masseeigenzustände, also e~1, μ~2, τ~3. Ich werde auch Ihre (1) ein wenig optimieren, um sie mit dem Schwartz-Zyklus zu vereinbaren. Nochmals, summieren Sie nicht über sich wiederholende Indizes!
Definiere den 4-Tensor
( α , β; ich , j ) ≡ Im (Uα ichUβJU∗αj _U∗βich) ,
so ist es durch Inspektion offensichtlich, dass
( β, α ; ich , j ) = − ( α , β; ich , j ) = ( α , β; j , i ) .
Sie sehen dann, dass es bis zur Antisymmetrie nur 3×3 nicht verschwindende Komponenten gibt, von denen bemerkenswerterweise aufgrund der Einheitlichkeit von
U gezeigt werden kann, dass sie
alle identisch in der Größe sind , nämlich
( α , β; ich , j ) = J ⎡⎣⎢0− 1110− 1− 110⎤⎦⎥αβ _⊗⎡⎣⎢0− 1110− 1− 110⎤⎦⎥ich j,
so dass,
J= ( e , μ ; 2 , 3 ) = ( e , μ ; 1 , 2 ) = ( e , μ ; 3 , 1 ) = ( μ , τ; 2 , 3 ) = ( μ , τ; 1 , 2 ) = ( μ , τ; 3 , 1 )= ( τ, e ; 2 , 3 ) = ( τ, e ; 3 , 1 ) = ( τ, e ; 1 , 2 ) .
- Einheitlichkeit,∑ichUα ichU∗βich=δαβ _
, tritt ein und steuert, indem alle Zeilen und Spalten der oben geschriebenen Matrix auf Null summiert werden, sodass es anstelle von 3 unabhängigen Parametern nur einen gibt, und das gleiche gilt für die linke Matrix im Tensorprodukt: Sie müssen notwendigerweise beide vom Typ sein∑kϵich j k
.