Das Geheimnis hinter dem sich drehenden, asymmetrisch gewichteten, scheibenförmigen 2D-Kreisel?

Ich denke, die Lösung hat eher mit dem Tennisschläger-Effekt zu tun (siehe: https://physics.stackexchange.com/a/17507/392 ).

Lassen Sie mich klarstellen, dass die Scheibe mit dem Loch darin zwei stabile Rotationsachsen und eine instabile hat. Der instabile ist durch das Loch und der stabile ist quer (unten in grün) und senkrecht zur Scheibe.

Ich habe bestätigt, dass ohne Reibung (und aus den Videos im obigen Link) die Scheibe periodisch umkippt, wenn sie um die instabile Achse gedreht wird. Dies führte dazu, dass es umkippte, als die Scheibe ohne Reibung fiel.

Das zusätzliche Ärgernis hier ist, dass die instabile Achse stabil wird, sobald sie sich in der "umgedrehten" Ausrichtung befindet und Reibung vorhanden ist.

Wenn sich das Loch von der Mitte bis zum Rand der Scheibe erstreckt, liegt der Schwerpunkt bei

$$\vec{c} = (0,-\frac{R}{6},0)$$ wo $R$ist der Außenradius der Scheibe. Die Hauptträgheitsmomente um den Massenmittelpunkt sind $$\begin{aligned} I_{XX} & = m \left( \frac{\ell^2}{12} + \frac{29 R^2}{144} \right) \approx 0.2 m R^2 \\ I_{YY} & = m \left( \frac{\ell^2}{12} + \frac{5 R^2}{16} \right) \approx 0.31 m R^2 \\ I_{ZZ} & = m \left( \frac{37 R^2}{72} \right) \approx 0.51 m R^2 \end{aligned}$$

wo$\ell$ist die Dicke der Scheibe. Seit$I_{YY}-I_{XX} = \frac{8}{37} I_{ZZ}$Das bedeutet, dass die y -Richtung der mittlere Trägheitswert ist, x das Minimum und z das Maximum. Daher die Instabilität um die y - Achse nach dem Tennisschläger-Effekt .

Ich arbeite daran, die obige Aussage zu qualifizieren, und ich werde diesen Beitrag mit meinen Ergebnissen aktualisieren.

I) Hier werden wir eher eine qualitative als eine quantitative Analyse geben. Betrachten Sie zunächst die axialsymmetrische 3D-Kippspitze, was bedeutet, dass es zwei Hauptachsen mit maximalem Trägheitsmoment gibt. (Wenn wir möchten, können wir die Spitze der Einfachheit halber als kugelsymmetrische Kugel modellieren, mit einer schweren Punktmasse außerhalb des geometrischen Zentrums$O$.) Empirisch beobachten wir in erster Näherung:

1. Der Winkelvektor$\vec{\omega}$ist meist vertikal und führt bei jeder Kreiselumdrehung eine kleine Präzession aus. (Nehmen wir mal an$\vec{\omega}$nach oben statt nach unten.)

2. Die Drehung des Oberteils erfolgt um einen Punkt$Q$irgendwo zwischen dem geometrischen Mittelpunkt$O$und der Massenmittelpunkt$C$.

3. Der Punkt$P$des Kontakts vervollständigt eine kleine kreisförmige Umlaufbahn für jede Umdrehung des Kreisels.

4. Die Oberseite rollt meistens ohne zu rutschen. Mit anderen Worten, es handelt sich in erster Näherung eher um Haftreibung als um Gleitreibung, und daher bleibt die mechanische Energie erhalten.

Der Drehimpulsvektor$\vec{L}$zeigt meistens nach oben, ist aber etwas zur gleichen (gegenüberliegenden) Seite geneigt wie$C$iff$O$ist oben (unten)$C$. Mit anderen Worten, der Drehimpulsvektor$\vec{L}$vervollständigt eine kleine Präzession für jede Umdrehung des Kreisels. Wir nehmen an, dass diese Präzession von$\vec{L}$(und das entsprechende Nettodrehmoment, das für diese Präzession benötigt wird) bleibt während des gesamten Inversionsprozesses sehr klein.

Jetzt arbeiten die Drehmomente der Schwerkraft und der Normalkraft gemeinsam, um die Präzession zu erhöhen$\vec{L}$. Die Aufhebung dieses Drehmoments kann nur durch die Reibungskraft erfolgen, die in die gleiche Richtung (horizontal gesprochen) wie der Massenschwerpunkt wirkt$C$ist.$^1$

Aufgrund einer unvollkommenen Rollbewegung neigt die Reibungskraft dann natürlich dazu, den Kontaktpunkt in Richtung der Reibungskraft zu verschieben, wodurch der Massenmittelpunkt angehoben wird$C$. (Del Campo zeigte, dass die Gleitreibung beim Inversionsprozess eine wesentliche Rolle spielen muss, vgl. Lit. 1. Natürlich ist die Gleitreibung auch dafür verantwortlich, dass der Kreisel irgendwann zur Ruhe kommt und seine mechanische Energie verliert.)

II) Die asymmetrischen 2D-Scheiben$^2$funktioniert ähnlich, obwohl die Rotation jetzt hauptsächlich um die instabile Hauptachse mit mittlerem Trägheitsmoment erfolgt, was zum Tennisschläger / Dzhanibekov-Effekt führt, wie ja72 in seiner Antwort richtig darauf hingewiesen hat, siehe auch zB diesen Phys.SE-Beitrag und Links darin. In Situationen ohne Reibung erklärt der Tennisschläger/Dzhanibekov-Effekt den letzten ungelösten Teil des Lösungsvideos.

Verweise:

1. Richard J. Cohen, The tippe top revisited, http://dx.doi.org/10.1119/1.10926 (Huttipp: Leonida)

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$^1$Beachten Sie, dass das Argument des Reibungsdrehmoments in diesem Video Basic Saucer Physics 101 zum gegenteiligen Effekt zu führen scheint, wo der Schwerpunkt liegt$C$wird abgesenkt (statt angehoben).

$^2$Die geometrischen Details der asymmetrischen 2D-Scheiben sind für die Wirkung weitgehend unerheblich.