Demo, um das Matter Power Spectrum in der Kosmologie zu erhalten

Question

Demo, um das Matter Power Spectrum in der Kosmologie zu erhalten

Kosmos
Dichte
Spektren
Kosmologie
dunkle Energie
Dunkle Materie

youpilat13

Ich möchte bitte den Ausdruck des Leistungsspektrums in der Kosmologie demonstrieren:

Zuerst habe ich den relativen Kontrast:

δ_{ich} (\vec{X}, z) \equiv ρ_{ich} (\vec{X}, z) / {\bar{ρ}}_{ich} (z) - 1 (1)

$\delta_{i}(\vec{x}, z) \equiv \rho_{i}(\vec{x}, z) / \bar{\rho}_{i}(z)-1\quad(1)$

Danach zerlegen wir diesen relativen Kontrast auf Fourrier-Basis:

δ_{ich} (\vec{X}, z) = \int \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3}} {\tilde{δ}}_{ich} (\vec{k}, z) \exp (ich \vec{k} \cdot \vec{X}) (2)

$\delta_{i}(\vec{x}, z)=\int \frac{\mathrm{d}^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \tilde{\delta}_{i}(\vec{k}, z) \exp (\mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{x})\quad(2)$

und schließlich, wie man den folgenden Ausdruck (3) aus (1) und (2) findet:

⟨ {\tilde{δ}}_{ich} (\vec{k}, z) {\tilde{δ}}_{ich} ({\vec{k}}^{'}, z) ⟩ = (2 π)^{3} δ_{D} (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) P_{ich} (\vec{k}, z) (3)

$\left\langle\tilde{\delta}_{i}(\vec{k}, z) \tilde{\delta}_{i}\left(\vec{k}^{\prime},z\right)\right\rangle=(2 \pi)^{3} \delta_{\mathrm{D}}\left(\vec{k}+\vec{k}^{\prime}\right) P_{i}(\vec{k}, z)\quad(3)$

?

Jede Hilfe ist willkommen.

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RY Zhao · Answer 1

Dies ist nur eine Fourier-Transformation: (letz $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$ )

\begin{aligned} ⟨ δ (k_{1}) δ (k_{2}) ⟩ & = \int \int D^{3} R_{1} D^{3} R_{2} ⟨ δ (R_{1}) δ (R_{2}) ⟩ e^{- ich k_{1} \cdot R_{1}} e^{- ich k_{2} \cdot R_{2}} \\ = \int D^{3} R_{1} e^{- ich k_{1} \cdot R_{1}} \int D^{3} R_{2} ⟨ δ (R_{1}) δ (R_{2}) ⟩ e^{- ich k_{2} \cdot R_{2}} \\ = \int D^{3} R_{1} e^{- ich k_{1} \cdot R_{1}} \int D^{3} X ⟨ δ (R_{1}) δ (R_{1} + X) ⟩ e^{- ich k_{2} \cdot (R_{1} + X)} \\ = \int e^{- ich (k_{1} + k_{2}) \cdot R_{1}} D^{3} R_{1} \int ξ (X) e^{- ich k_{2} \cdot X} D^{3} X \\ = (2 π)^{3} δ_{D} (k_{1} + k_{2}) P (k_{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle \delta(\boldsymbol{k}_1)\delta(\boldsymbol{k}_2) \rangle&=\int\int d^3r_1d^3r_2\langle \delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2) \rangle e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3r_2\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2)\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3x\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})}\\ &=\int e^{-i(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)\cdot\boldsymbol{r}_1}d^3r_1\int\xi(\boldsymbol{x})e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{x}}d^3x\\ &=(2\pi)^3\delta_D(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)P(\boldsymbol{k}_2) \end{aligned}$

Hier, $\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$ ist eine Zweipunkt-Korrelationsfunktion (2pcf) im Realraum. Wenn wir davon ausgehen, dass unser Universum statistisch homogen ist, $\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$ sollte die Form haben $\xi(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)$ . Das Leistungsspektrum ist also die Fourier-Transformation von 2pcf.

Wenn wir außerdem davon ausgehen, dass unser Universum statistisch isotrop ist (im Rotverschiebungsraum nicht wahr), kann 2pcf es sein $\xi(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)$ und Leistungsspektrum sein kann $P(k)$ .

Zhao: Danke. Welchen Trick verwenden Sie in Integralen, um in Ihrer Demonstration von der ersten Zeile zur zweiten Zeile zu gelangen:
$\begin{aligned} \langle \delta(\boldsymbol{k}_1)\delta(\boldsymbol{k}_2) \rangle&=\int\int d^3r_1d^3r_2\langle \delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2) \rangle e^{i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}e^{i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int e^{i(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)\cdot\boldsymbol{r}_1}d^3r_1\int\xi(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)e^{i\boldsymbol{k}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}d^3(r_1-r_2)\\ &=(2\pi)^3\delta_D(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)P(\boldsymbol{k}_2) \end{aligned}$ ? Mit freundlichen Grüßen.
@ youpilat13: Danke für deine Kommentare, ich habe meine Fourier-Notation korrigiert und die Ableitung verbessert. Hoffe das hilft!

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youpilat13

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RY Zhao

youpilat13

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RY Zhao

youpilat13

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