Der Grund für die Definition der Richtung der Winkelgeschwindigkeit zur Rotationsachse?

Ich rede nicht wirklich über Geschichte, aber da du gefragt hast ...

(Fett ist Vektor, Normal ist Magnitude)
Der Positionsvektor ist$\mathbf r$, der Geschwindigkeitsvektor ist$\mathbf v$, Und$\mathbf \omega$ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Wir wissen, dass die Winkelgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit durch zusammenhängen$v = R\omega$, und wenn Sie genau hinsehen, werden Sie das sehen$R = r\sin\alpha$, somit$v = r\omega\sin\alpha$. Sieht aus wie die Größe eines Kreuzprodukts!

Dies könnte einen sehr gut auf die Idee bringen, einen solchen Winkelgeschwindigkeitsvektor zu definieren$\mathbf v=\mathbf\omega\times\mathbf r$oder$\mathbf r\times\mathbf\omega$. Da die Rechte-Hand-Regel ein Ding ist, scheint es am besten zu definieren$\mathbf v=\mathbf\omega\times\mathbf r$, Wo$\mathbf\omega$wäre in die Richtung, in die Ihr Daumen zeigt, wenn Sie Ihre Hände in Drehrichtung schließen.

Warum ist das nützlich? Wir können jeden Satz verwenden, den wir für das Kreuzprodukt gefunden haben. :)

Die Winkelgeschwindigkeit ist kein Vektor und kein Pseudovektor. Dies sind in der Tat Abkürzungen für den richtigen Begriff.

Eine Rotation in 3D hat eine Rotationsachse. Wenn wir jedoch Drehungen in höheren Dimensionen betrachten, beispielsweise in 4d oder 5d, lässt sich der Begriff einer Rotationsachse nicht verallgemeinern (wir können eine in ungeraden Dimensionen finden, aber nicht in geraden).

Drehungen in 3D treten jedoch in einer unveränderlichen Ebene auf, und diese Ebene verallgemeinert sich auf Drehungen in höheren Dimensionen.

Solche Ebenen sind durch Bivektoren gekennzeichnet. So klingt es - zwei ausgewählte Vektoren, die nicht linear unabhängig sind und daher eine Ebene aufspannen.

Ein Bivektor in 3D ist äquivalent zu einem Pseudovektor, und hier kommt dieser letztere Begriff ins Spiel, beispielsweise in Diskussionen über Winkelgeschwindigkeit oder Impuls und dergleichen - Drehmoment.

Ich möchte auch hinzufügen, angesichts des Unsinns, der sowohl für als auch gegen höhere Dimensionen gesagt wurde, dass hier ein Beispiel für das Denken in höheren Dimensionen ist, das hilfreich ist, um über unser eigenes räumliches 3D nachzudenken. Aber nichtsdestotrotz sagt es nichts über die tatsächliche Existenz höherer Dimensionen aus.