Details der Newtonschen Vorhersage für die Präzession von Merkur

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Details der Newtonschen Vorhersage für die Präzession von Merkur

Tomas Smith

Könnte mir jemand ein Buch nennen oder die Methoden skizzieren, die verwendet werden, um die 532 Bogensekunden pro Jahrhundert zu berechnen, die die Newtonsche Theorie anscheinend für die Präzession von Merkur vorhersagt. Ich bin völlig zufrieden damit, GRs 43 zu bekommen, aber ich weiß nicht einmal, wo ich mit Newton anfangen soll. Ich fühle mich ziemlich lächerlich, wenn man diesen Zustand bedenkt.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

"Ich fühle mich ziemlich lächerlich angesichts dieser Situation." ::kichert:: Es ist sehr leicht zu übersehen, wie weit die Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in der Aufregung war, den radikalen Aufstieg von Einsteins Relativitätstheorien und Quantenkram zu studieren, nicht wahr? Marion und Thorton geben nur eine Skizze, Sie könnten also auf der Suche nach mehr Details in einem Buch über Mechanik für Hochschulabsolventen nachschlagen.

HDE226868

Siehe physical.stackexchange.com/q/814 und darin enthaltene Links; Diese Übersicht wurde empfohlen, obwohl ich nicht glaube, dass sie genau das ist, wonach Sie suchen. Dies konzentriert sich hauptsächlich auf die Newtonsche Präzession.

Tomas Smith

@HDE 226868 Vielen Dank für den Hinweis. Die Idee, dass Taylor sich um eine kreisförmige Umlaufbahn ausdehnt, ist großartig. Aber sicher gibt es irgendwo eine ausführliche Darstellung der Auswirkungen aller anderen Planeten.

Benutzer16622

Woher diese Zahl von 5557 Bogensekunden pro Jahrhundert kommt, ist nicht klar. Nach vielen Jahren der Beobachtung der Merkurbahn wurde die durchschnittliche Abweichung in der Präzession auf 43 Bogensekunden pro Jahrhundert berechnet, eine Zahl, die durch Einbeziehung der Auswirkungen der Relativitätstheorie bei der Berechnung der Merkurbahn erklärt wird. Dass die Relativitätstheorie eine so verschwindend geringe Diskrepanz in den Beobachtungsdaten erklären konnte, trug wesentlich dazu bei, die Physiker davon zu überzeugen, dass die Theorie gültig war.

Tomas Smith

@ user16622 Diese Zahl stammt aus Einstein Gravity in a Nutshell, Seite 368. Ich bin bereits ziemlich vertraut mit dem Wendepunkt, den Einstein mit Mecrury hatte. Aber danke.

Benutzer16622

Ich sehe dort eine Bruttozahl von 5600 Zoll pro Jahrhundert, aber nach Korrektur bekannter Fehler sinkt die Nettozahl für die Diskrepanz auf 43 Zoll pro Jahrhundert. IMO, wenn Newtons Gravitation nicht durch messbare Beobachtungsfehler unter 5600 Zoll hätte korrigiert werden können, wäre sie wahrscheinlich schon lange verworfen worden, bevor Einstein auftauchte. Einsteins Leistung bestand eher darin, diese winzige Zahl von 43 Zoll pro Jahrhundert zu berücksichtigen, als die andere Korrekturen des groben Fehlers von 5600".

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Details der Newtonschen Vorhersage für die Präzession von Merkur

"Ich fühle mich ziemlich lächerlich angesichts dieser Situation." ::kichert:: Es ist sehr leicht zu übersehen, wie weit die Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in der Aufregung war, den radikalen Aufstieg von Einsteins Relativitätstheorien und Quantenkram zu studieren, nicht wahr? Marion und Thorton geben nur eine Skizze, Sie könnten also auf der Suche nach mehr Details in einem Buch über Mechanik für Hochschulabsolventen nachschlagen.
Siehe physical.stackexchange.com/q/814 und darin enthaltene Links; Diese Übersicht wurde empfohlen, obwohl ich nicht glaube, dass sie genau das ist, wonach Sie suchen. Dies konzentriert sich hauptsächlich auf die Newtonsche Präzession.
@HDE 226868 Vielen Dank für den Hinweis. Die Idee, dass Taylor sich um eine kreisförmige Umlaufbahn ausdehnt, ist großartig. Aber sicher gibt es irgendwo eine ausführliche Darstellung der Auswirkungen aller anderen Planeten.
Woher diese Zahl von 5557 Bogensekunden pro Jahrhundert kommt, ist nicht klar. Nach vielen Jahren der Beobachtung der Merkurbahn wurde die durchschnittliche Abweichung in der Präzession auf 43 Bogensekunden pro Jahrhundert berechnet, eine Zahl, die durch Einbeziehung der Auswirkungen der Relativitätstheorie bei der Berechnung der Merkurbahn erklärt wird. Dass die Relativitätstheorie eine so verschwindend geringe Diskrepanz in den Beobachtungsdaten erklären konnte, trug wesentlich dazu bei, die Physiker davon zu überzeugen, dass die Theorie gültig war.
@ user16622 Diese Zahl stammt aus Einstein Gravity in a Nutshell, Seite 368. Ich bin bereits ziemlich vertraut mit dem Wendepunkt, den Einstein mit Mecrury hatte. Aber danke.
Ich sehe dort eine Bruttozahl von 5600 Zoll pro Jahrhundert, aber nach Korrektur bekannter Fehler sinkt die Nettozahl für die Diskrepanz auf 43 Zoll pro Jahrhundert. IMO, wenn Newtons Gravitation nicht durch messbare Beobachtungsfehler unter 5600 Zoll hätte korrigiert werden können, wäre sie wahrscheinlich schon lange verworfen worden, bevor Einstein auftauchte. Einsteins Leistung bestand eher darin, diese winzige Zahl von 43 Zoll pro Jahrhundert zu berücksichtigen, als die andere Korrekturen des groben Fehlers von 5600".

Dirakologie · Answer 1

Die Vorhersage der Newtonschen Mechanik für die Präzession des Merkur ist tatsächlich $532''$ pro Jahrhundert.

Das allgemeine Ergebnis

Wenn die zentrale Kraft anziehend ist, gibt es eine Kreisbahn mit Radius $r_0$ . Diese Kreisbahn ist stabil, wenn sie einem Minimum des effektiven Potentials entspricht , dh

U_{e f}^{″} (r_{0}) > 0.

$U_{ef}''(r_0)>0.$ Verwenden Sie das

U_{e f} = L^{2} / 2 m r^{2} + U

$U_{ef}=L^2/2mr^2+U$ und

F (r_{0}) = - L^{2} / m r_{0}^{3}

$F(r_0)=-L^2/mr_0^3$ , wo

L

$L$ ist der Drehimpuls und

F = - U^{'}

$F=-U'$ , wir bekommen

U_{e f}^{″} (r_{0}) = - \frac{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}{r_{0}} .

$U_{ef}''(r_0)=-\frac{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}{r_0}.$ Wenn

r_{0}

$r_0$ gibt mindestens

U_{e f}

$U_{ef}$ als nach Expansion bis zur zweiten Ordnung

U_{e f}

$U_{ef}$ um

r_{0}

$r_0$ wir können die Periode der radialen Schwingungen berechnen,

T_{r} = 2 π \sqrt{\frac{m}{U_{e f}^{″} (r_{0})}} = 2 π \sqrt{\frac{- m r_{0}}{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}} .

$T_r=2\pi\sqrt{\frac{m}{U_{ef}''(r_0)}}=2\pi\sqrt{\frac{-mr_0}{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}}.$ Für kleine Störungen um die kreisförmige Umlaufbahn können wir den im Intervall überstrichenen Winkel annähern

T_{r}

$T_r$ durch

Δ ϕ = \dot{ϕ} T_{r},

$\Delta\phi=\dot\phi T_r,$ wo

\dot{ϕ} = \frac{L}{m r^{2}} = \sqrt{- \frac{F (r_{0})}{m r_{0}}} .

$\dot\phi=\frac{L}{mr^2}=\sqrt{-\frac{F(r_0)}{mr_0}}.$ Somit

Δ ϕ = 2 π \sqrt{\frac{m}{U_{e f}^{″} (r_{0})}} = 2 π \sqrt{\frac{F (r_{0})}{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}} .

$\Delta\phi=2\pi\sqrt{\frac{m}{U_{ef}''(r_0)}}=2\pi\sqrt{\frac{F(r_0)}{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}}.$ Wenn

Δ ϕ = 2 π

$\Delta\phi=2\pi$ Das bedeutet, dass sich das Teilchen während einer radialen Schwingung genau einmal dreht. Es gibt keine Präzession. Es ist zweckmäßig, den Präzessionswinkel durch zu definieren

Φ = Δ ϕ - 2 π

$\Phi=\Delta\phi-2\pi$ und die Rate dieser Präzession,

Ω = \frac{Φ}{T_{r}} .

$\Omega=\frac{\Phi}{T_r}.$

Das besondere Ergebnis

Es bleibt uns übrig, die Gesamtkraft auf Merkur zu berechnen, die ich als zerlege

F (r) = F_{0} (r) + F_{p} (r),

$F(r)=F_0(r)+F_p(r),$ wo

F_{0}

$F_0$ ist die Kraft aufgrund der Summe und

F_{p}

$F_p$ ist die kleine (Stör-)Kraft aufgrund der anderen Planeten. Die schönste Berechnung, die ich gesehen habe

F_{p}

$F_p$ präsentiert wird

Price, Rush – Nichtrelativistischer Beitrag zur Perihelpräzession des Merkur – AJP 47, 531 (1979);

Da die Präzession im Vergleich zur Umlaufdauer der Körper des Sonnensystems zu langsam ist (295.000 Jahre für eine vollständige Umdrehung), wirken die anderen Planeten effektiv wie ein einheitlicher Massenring. Beachten Sie, dass dies nur für die Präzession des Mecrury gilt. Nach dem Papier ist es ganz einfach, die Kraft eines Rings zu berechnen $i$ der Dichte $\lambda_i$ und Radius $R_i$ tut auf Merkur, der sich bei befindet $r$ . Die Gesamtkraft aufgrund aller anderen Planeten lautet

F_{p} (r) = \sum_{ich} \frac{G m π λ r}{R_{ich}^{2} - r^{2}} .

$F_p(r)=\sum_i\frac{Gm\pi\lambda r}{R_i^2-r^2}.$ Das zu bemerken

r_{0} F_{0}^{'} (r_{0}) = - 2 F_{0} (r_{0})

$r_0F_0'(r_0)=-2F_0(r_0)$ und die Verwendung dieser Ausdrücke in der allgemeinen Form von

Δ ϕ

$\Delta\phi$ oben bekommen wir

Δ ϕ = 2 π {[\frac{F_{0} (r_{0}) + F_{p} (r_{0})}{F_{0} (r_{0}) + 3 F_{p} (r_{0}) + r_{0} F_{p}^{'} (r_{0})}]}^{1 / 2} .

$\Delta\phi=2\pi\left[\frac{F_0(r_0)+F_p(r_0)}{F_0(r_0)+3F_p(r_0)+r_0F_p'(r_0)}\right]^{1/2}.$ Seit

| F_{p} (r_{0}) | \approx | r_{0} F_{p}^{'} (r_{0}) | ≪ | F_{0} (r_{0}) |

$|F_p(r_0)|\approx |r_0F_p'(r_0)|\ll |F_0(r_0)|$ Wir können Taylor bis zur ersten Ordnung erweitern

F_{p} (r_{0}) / F (r_{0})

$F_p(r_0)/F(r_0)$ und

F_{p}^{'} (r_{0}) / F (r_{0})

$F_p'(r_0)/F(r_0)$ , dh

Δ ϕ = 2 π [1 - \frac{F_{p} (r_{0})}{F (r_{0})} - \frac{r_{0} F_{p}^{'} (r_{0})}{F (r_{0})}] .

$\Delta\phi=2\pi\left[1-\frac{F_p(r_0)}{F(r_0)}-\frac{r_0F_p'(r_0)}{F(r_0)}\right].$ Daher ist der Präzessionswinkel

Φ = - \frac{F_{p} (r_{0})}{F (r_{0})} - \frac{r_{0} F_{p}^{'} (r_{0})}{F (r_{0})} .

$\Phi=-\frac{F_p(r_0)}{F(r_0)}-\frac{r_0F_p'(r_0)}{F(r_0)}.$ Wenn wir die astronomischen Daten einsetzen und durch das Sternjahr von Merkur dividieren, erhalten wir die Präzessionsrate

Ω = 7.060 \cdot 10^{- 8} r a d p e r d a j,

$\Omega=7.060\cdot 10^{-8}\, \mathrm{rad\ per\ day},$ oder

Ω \approx 532 a r c s e c Ö n d s p e r c e n t u r j .

$\Omega\approx 532\, \mathrm{arcseconds\ per\ century}.$

+1, ich habe wirklich etwas aus dem zweiten Abschnitt gelernt - wie elegant. Wie das OP wüsste ich wahrscheinlich nicht, wo ich anfangen soll, und stellte mir vor, es wäre eine detaillierte Zählung der Kräfte von Planeten, die über lange Zeiträume getrennt sind. Diese schnelle Vergleichs-mit-Präzession-Einsicht, die Planeten durch Ringe zu ersetzen, ist wunderbar.
@WetSavannaAnimalakaRodVance IMHO ist das Schöne am allgemeinen Ergebnis, dass es die Art der Störung nicht angibt $F_p$ . Wenn man verwendet $F_p=\beta/r^ 3$ man bekommt die 43 Bogensekunden pro Jahrhundert von GTR.
Übrigens, ich denke, es gibt einen Faktor von $\dot{\phi}$ nach dem ersten Gleichheitszeichen in der letzten Gleichung für $\Delta\phi$ im Abschnitt "Allgemeines Ergebnis". Aber nach dem zweiten Gleichheitszeichen ist alles in Ordnung.
... ein Faktor von $\dot{\phi}$ fehlt ... Hier steckt eine Art Ironie dahinter :-)

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