Die ADM-Energie von Gravitationswellen?

Ich suche seit einigen Tagen nach Büchern zu dieser Frage. Fast alle Bücher verwenden jedoch den Landau-Lifshitz-Pseudotensor, um die Energie von Gravitationswellen zu berechnen. Und sie sagten, dass das Ergebnis der Energie von Gravitationswellen nicht von der Art des Pseudotensors abhängt. Also möchte ich versuchen, die Energie von Gravitationswellen auf andere Weise zu berechnen, wie z. B. die ADM-Energie.

Zunächst lassen wir

g a b = η a b + γ a b .
Verwenden Sie dann die lineare Einsteinsche Feldgleichung,
R a b = 0     ⇒     ◻ 2 γ a b = 0 .
Für eine ebene Welle, die sich entlang der ausbreitet x 3 -Achse, wir wissen, dass die einzigen Komponenten von γ μ v die von Null verschieden sind
γ 11 = − γ 22 , γ 12 = γ 21
So,
γ j j = γ 11 + γ 22 + γ 33 = 0
Betrachten Sie die ADM-Energie
E = c 4 16 π G lim r → ∞ ∬ S r ⊂ ⊃ ( ∂ j h ich j − ∂ ich h j j ) d S ich
Einige Berechnungen über h a b ,
h a b = g a b ∓ n a n b     ⇒     h ich j = g ich j = η ich j + γ ich j
h j j = η j j + γ j j = η j j = konst
∂ 1 h ich j = ∂ 2 h ich j = 0
Endlich haben wir
E = 0

Das Ergebnis ist sicherlich falsch, aber wo liegt der Fehler? Ich habe lange nachgedacht, aber ich verstehe nichts.

Warum ist n a n b Null? Und ist die Raumzeit asymptotisch flach?
@MBN: ( Σ , h a b ) ist eine raumartige Hyperfläche von ( M , g a b ) , x 1 , x 2 , x 3 ist das Koordinatensystem für Σ , also die Raumkomponenten von n a n b sollte Null sein. (Die Zeitkomponente ist jedoch nicht Null.) Ungefähr asymptotisch flach, scheint die Antwort nein zu sein? Warum können wir dann den Landau-Lifshitz-Pseudotensor verwenden?
Versuchen Sie es mit Straumann....
Pseudotensoren kümmern sich nicht um asymptotische Ebenheit – sie sind quasi-lokal. Die Standard-ADM-Energie-Impuls-Integrale hingegen funktionieren nur für asymptotisch flache Raumzeiten.
Die ADM-Energie misst nicht, ich wiederhole, nicht die abgestrahlte Gravitationswellenenergie. Es ist als Raum wie die Unendlichkeit definiert und erfasst daher nur nicht strahlende Daten (kein Nullstrahl kann die räumliche Unendlichkeit erreichen). Die Größe, die die Strahlungsenergie einfängt, ist der Bondi-Massenaspekt.
Ich habe oben von asymptotisch flachen Raumzeiten gesprochen. In diesem Fall ist die gesamte Raumzeit raumartig mit der räumlichen Unendlichkeit verbunden. In anderen Fällen ist die Situation anders und die entsprechende ADM-Berechnung kann Strahlungsdaten enthalten.

Antworten (2)

OK, vielleicht verstehe ich, wo mein Fehler liegt.

Das ist sehr wichtig T a b ( 1 ) = G a b ( 1 ) = 0 sondern T a b ≠ 0 .

Aus diesem PDF können wir lernen

T 03 = − 1 16 π [ ( ∂ h 11 ∂ t ) 2 + ( ∂ h 12 ∂ t ) 2 ] ,
bemerken, dass c = 1 und G = 1. Weil
− g ( T μ v + t μ v ) = E = 0
So
t 03 = 1 16 π [ ( ∂ h 11 ∂ t ) 2 + ( ∂ h 12 ∂ t ) 2 ] .
Es ist dasselbe wie das Ergebnis des Landau-Lifshitz-Pseudotensors.

Ich hoffe meine Antwort ist richtig.

Ich bin mir nicht sicher, ob es stimmt, dass die ADM-Energie von der Ruhemasse abhängt. Aber wenn es wahr ist, erzeugt ein Objekt mit einer Ruhemasse von Null keine Schwerkraft wie eine ebene elektromagnetische Welle. Die Eigenschaft der ebenen Gravitationswelle ist analog zur ebenen elektromagnetischen Welle, also sollte sie auch keine Ruhemasse haben. Sie können es auf Gravitations-Solitonen (ein Wellenpaket, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt) anwenden, um zu sehen, ob es wahr ist.

Wenn ein Gravitationswellenpaket eine Ruhemasse ungleich Null hat, sollte es als "Geon" betrachtet werden. Ich weiß, dass es einige Lösungen dafür gibt, aber ob sie stabil sind, bin ich mir nicht sicher.

Die ADM-Energie von Gravitationswellen?
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