Riemann-Krümmungstensor in der Störungstheorie erster Ordnung als Lie-Ableitung des Riemann-Krümmungstensors in nullter Ordnung [geschlossen]

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird ein Diffeomorphismus, also eine Eichtransformation, infinitesimal durch eine Verschiebung auf der Mannigfaltigkeit um ein Vektorfeld dargestellt, wobei

$$X_a \to X_a + \xi_a$$

Per Definition ändert sich der metrische Tensor um eine Lie-Ableitung,

$$g_{ab}\to g_{ab}+\mathcal{L}_\xi g_{ab} = g_{ab} + 2\nabla_{(a}\xi_{b)}$$

Daher induziert es eine nichtphysikalische lineare Störung, die wir bezeichnen$h_{ab}$. Die Verbindungskoeffizienten oder "Christoffel"-Symbole erfahren eine Variation,

$$\delta \Gamma^{a}_{bc} = \frac{1}{2}\left(\nabla_c h^{a}_{b}+\nabla_{b}h^{ac}-\nabla^{a}h_{bc} \right)$$

Die Variation des Riemann-Tensors kann auch in Form von kovarianten Ableitungen in Bezug auf die ungestörte Hintergrundmetrik ausgedrückt werden.

$$\delta R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma})$$

Die Variation bzgl$h_{ab}$wird einfach durch Einsetzen der Christoffel-Variationen berechnet,

$$\delta R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \frac{1}{2} \left[\nabla_\mu\nabla_\sigma h^{\rho}_{\nu} + \nabla_\mu \nabla_\nu h^{\rho}_\sigma - \nabla_\mu \nabla^\rho h_{\nu \sigma} -\nabla_\nu \nabla_\sigma h^{\rho}_\mu - \nabla_\nu \nabla_\mu h^{\rho}_\sigma + \nabla_\nu \nabla^{\rho} h_{\mu\sigma}\right]$$

Um Terme zu kombinieren, kann man die Riemann-Identität verwenden, um kovariante Ableitungen auszutauschen, jedoch um den Preis der Einführung des ursprünglichen Riemann-Tensors. Um schließlich die Variation in Bezug auf das ursprüngliche Vektorfeld zu erhalten, geben Sie einfach ein$h_{ab}=2\nabla_{(a}\xi_{b)}$.