Die Formeigenschaften von Gravitationsbrunnen bei unterschiedlicher Masse und Ausbreitung von Objekten

Die Frage ist etwas offen, daher ist dies eher eine Einführung in das Thema als eine vollständige Antwort - da eine vollständige Antwort sowohl die Potentialtheorie als auch die allgemeine Relativitätstheorie beinhaltet .

Wenn wir mit Gravitationsschächten in der klassischen Mechanik beginnen, haben sie für Punktmassen eine einfache Form:

$$U(r)=-\frac{GM}{r}$$ Wo$r$ist die Entfernung vom Punkt. Sie sind überall außer dem Punkt definiert$r=0$, und strecken sich bis ins Unendliche (wo das Potential Null ist).

Wenn Sie mehrere Punktmassen haben, addieren sich ihre Potenziale einfach:

$$U(x)=-G\sum_i \frac{M_i}{d_i}$$ Wo$M_i$ist die Masse der$i$tes Teilchen und$d_i$die Entfernung zum Punkt$x$wo das Potential gemessen wird.

Man kann kontinuierliche Massenverteilungen auf die gleiche Weise analysieren, indem man Beiträge von infinitesimal kleinen Teilchen integriert:

$$U(x) = -G\int_{t\neq x} \frac{\rho(t)}{|x-t|} dt$$ Wo$\rho(t)$ist die Massendichte an dem Punkt$t$. Das Integral geht über den gesamten Raum außer$x=t$. So kann man (mit einigem Aufwand) das Gravitationsfeld um Kugelkörper, Ringe, Ebenen etc. berechnen.

Eines der wichtigsten Ergebnisse ist der Schalensatz von Newton: Bei einer kugelsymmetrischen Massenverteilung hängt das Potential nur vom Abstand zum Zentrum ab (es ist auch kugelsymmetrisch). Außerdem gibt es keine Gravitationskraft von den Massenhüllen außerhalb des Punktes, von dem aus Sie messen: Sie tragen jedoch immer noch zum Potenzial bei - im Erdmittelpunkt wären Sie schwerelos, hätten aber ein ziemlich niedriges Potenzial. Es spielt keine Rolle, wie dicht der Körper ist, wenn Sie sich außerhalb befinden, werden Sie nur ein von der Gesamtmasse abhängiges Potenzial spüren.

Dies erklärt auch Ihre sekundäre Frage nach der Sonne als rotem Riesen. Der Grund, warum von der Erde erwartet wird, dass sie sich ein wenig herausdreht, ist, dass die Sonne durch starken Sonnenwind an Masse verlieren wird, nicht dass die Dichte abnehmen wird.

Außerdem kann man andere Möglichkeiten finden, Potentiale zu berechnen. Das Gaußsche Gesetz ist sehr nützlich. Es besagt, dass die Gravitationskraft, wenn sie um eine beliebige geschlossene Oberfläche integriert wird, proportional zur Masse im Inneren ist:$\int\int_S g\cdot dA = -4\pi G M$. Beachten Sie, wie es das Schalentheorem impliziert. Man kann dies differenzieren und gelangt dann zur Poisson-Gleichung

$$\nabla^2 U = 4\pi G\rho.$$ Potenziale im leeren Raum wo$\rho=0$folgt der Laplace-Gleichung $$\nabla^2 U =0$$ -- sie sind Gegenstand der Potentialtheorie und werden manchmal als harmonische Funktionen bezeichnet.

Um ihre Formen zu beschreiben, kann man sich zunutze machen, dass wenn$U_1$Und$U_2$sind also zwei Potentiale, die die Laplace-Gleichung lösen$U_1+U_2$löst es auch. So kann man einfache mögliche Lösungen (genau wie im Punktteilchenfall) zu komplexeren zusammenfügen. Es gibt eine umfangreiche mathematische Theorie darüber, wie dies zu tun ist. Für die Gravitation kommt es in der Regel auf Expansionen in Multipolmomenten an , die in Kugelflächenfunktionen ausgedrückt werden . Da die meisten Massenverteilungen ungefähr kugelförmige Blobs sind, erzeugen diese Kombinationen normalerweise genaue Ergebnisse mit wenigen Termen. Insbesondere können sie die Verzerrung durch einen abgeflachten Körper (das Potential ist in der Nähe des Körpers etwas gequetscht) oder komplexere Dinge wie die Klumpigkeit der Erde leicht handhaben . Sobald Sie das Potenzial haben, können Sie beispielsweise berechnen, wie es sich auf Satellitenumlaufbahnen auswirkt.

Eines der wichtigen Ergebnisse ist, dass Oberschwingungen höherer Ordnung schneller abklingen$r$als$1/r$. Sie wirken sich weniger auf die entfernten Teile des Potentials aus. Ein würfelförmiger Planet wird nahe der Oberfläche ein etwas würfelähnliches Feld haben, aber weiter weg wird es fast so aussehen, als wäre es eine Kugel (siehe dieses Papier , obwohl sie nicht die harmonische Methode verwenden).

Darüber hinaus gibt es die allgemeine Relativitätstheorie. Es gibt nicht genau ein Gravitationspotential in GR (der metrische Tensor erledigt einen Teil der Arbeit), obwohl man für schwache Felder das klassische annähern und die Gravitationszeitdilatation berechnen kann . Es gibt auch ein Gegenstück zum Schalensatz .