Die Kriterien für die Potentialströmungstheorie

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Die Kriterien für die Potentialströmungstheorie

Ahorn

Ich lerne Aerodynamik. Als Potentialströmung wird dabei natürlich eine Strömung bezeichnet, bei der die Rotation überall Null ist. Aber das Buch sagte mir, dass wir einem Strömungsfeld Wirbel hinzufügen können, und wir können auch die Potentialtheorie verwenden, um es zu analysieren. Ich bin verwirrt darüber. Wenn in einem Strömungsfeld ein Wirbel hinzugefügt wird, besteht meines Erachtens kein Potenzial. Die Rotation eines Wirbels ist unendlich! Kann mir jemand erklären, warum die Potentialströmungstheorie verwendet werden kann, während es einige Wirbel im Strömungsfeld gibt?

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Die Kriterien für die Potentialströmungstheorie

Matthias · Answer 1

Potentielle Strömung bedeutet normalerweise, wie Sie richtig gesagt haben, dass Ihre Strömung nicht rotiert, also Ihr Geschwindigkeitsfeld $\vec{u}(\vec{x},t)$ hat die Eigenschaft:

\vec{\nabla} \times \vec{u} = 0 ⟹ \vec{u} = \vec{\nabla} ϕ

$\vec\nabla\times \vec{u} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \vec{u}=\vec\nabla\phi$

Dies ist jedoch nicht der allgemeine Fall, da Sie normalerweise eine gewisse Rotation in Ihrer Strömung haben, die als Vorticity bezeichnet wird und wie folgt definiert ist:

\vec{ω} = \vec{\nabla} \times \vec{u}

$\vec\omega = \vec\nabla\times \vec{u}$

Nun kann dieser Vektor sein, was er will, zum Beispiel konstant und endlich, es gibt keinen Grund dafür, dass er unendlich ist. Zurück zu den Potentialen, falls eine Vorticity ungleich Null vorhanden ist, kann das Geschwindigkeitsfeld immer noch in einen drehungsfreien Teil zerlegt werden, der durch ausgedrückt wird $\phi$ und einen Rotationsteil, der durch die sogenannte Stromfunktion ausgedrückt wird $\vec\psi$ auf die folgende Weise:

\vec{u} = \vec{\nabla} ϕ + \vec{\nabla} \times \vec{ψ}

$\vec{u}=\vec\nabla\phi + \vec\nabla\times\vec\psi$

In diesem Sinne spricht man auch dann noch von potentieller Strömung, wenn die Strömung nicht rotationsfrei ist.

Der Grund dafür ist, dass dieser Formalismus in zweidimensionalen Strömungen sehr nützlich ist, wo die Vorticity und die Stromfunktion Vektorfelder sind, die immer in die Richtung zeigen $z$ -Richtung und sind durch die Relation verknüpft:

\nabla^{2} ψ = - ω

$\nabla^2\psi = -\omega$

Ich hoffe, das klärt Ihre Zweifel ein wenig, wenn Sie noch mehr haben, fragen Sie einfach!

Danke für deine Antwort. Meinen Sie also, wenn es ein Strömungsfeld gibt, das nur einen Wirbel hat, ist es der $\phi$ muss eine Konstante durch den Fluss sein? Und die Wirbelgittermethode hat nichts mit der Potentialströmungstheorie zu tun?
@Mattia: Ich denke, das OP hat nach einer bestimmten Lösung gefragt: 2D-Punktwirbel, wo es gibt $\delta$ -ähnliches Wirbelfeld.
@maple: Leider kenne ich die Vortex-Gitter-Methode nicht, daher kann ich es nicht wirklich sagen, aber wenn ich mir die Wikipedia-Seite darüber ansehe, gehe ich davon aus, dass sich alles um die Potentialströmungstheorie dreht.
@ Mattia: Wie user23660 betonte und der Kommentar von Maple anzeigte, haben Sie die gestellte Frage einfach nicht beantwortet. Tatsächlich hast du Maple mehr verwirrt und er denkt jetzt $\phi$ ist für einen Wirbel konstant.
Nun, ich glaube, ich habe die Frage beantwortet: "Warum kann ich die Potentialströmungstheorie in Gegenwart von Wirbeln anwenden?". Und ja, ich habe den Teil des Kommentars gelesen, in dem das steht $\phi$ muss konstant sein, sorry. Das stimmt natürlich nicht, und ich denke, dass Ihre Antwort richtig darauf hinweist.

Einfach wie ein Ei · Answer 2

So widersprüchlich es auch klingen mag, Sie können einen Wirbel haben, der Sie zufrieden stellt

\vec{ω} = \vec{\nabla} \times \vec{u} = 0

$\vec{\omega} = \vec{\nabla} \times \vec{u} = 0$ Und

\nabla^{2} ϕ = 0

$\nabla^2\phi=0$ Das Potential wird in Polarkoordinaten angegeben

r

$r$ Und

θ

$\theta$ von

ϕ = \frac{Γ}{2 π} θ

$\phi = \frac{\Gamma}{2\pi}\theta$ was gibt

u_{θ} = \frac{Γ}{2 π r}

$u_{\theta}=\frac{\Gamma}{2\pi r}$ Und

u_{r} = 0

$u_r = 0$ . Das Auswerten der Wellung überall außer am Ursprung ergibt

\vec{ω} = \frac{\partial R u_{θ}}{\partial R} - \frac{\partial u_{R}}{\partial θ} = 0

$\vec{\omega} = \frac{\partial ru_{\theta}}{\partial r}-\frac{\partial u_r}{\partial \theta} = 0$

Sorry, ich sehe den Widerspruch nicht. Sie beginnen mit $\vec\omega = 0$ und Sie enden mit $\vec\omega = 0$ , vielleicht habe ich einen Schritt in Ihrer Argumentation übersehen.
Kein Widerspruch dazwischen $\vec{w}=0$ und einen Wirbel haben. Das ist, was ich in meiner Antwort übermittle. Nachdem ich Ihre Antwort und Ihren Kommentar oben gelesen habe, denke ich, dass Ihr Verständnis der englischen Sprache ein wenig fehlt.
Warum also sollte es widersprüchlich klingen? Für mich sorgt Ihre Antwort für Verwirrung, weil Sie Vortex und Vorticity mischen , die unterschiedliche Objekte sind. Tatsächlich kann ein Wirbel, wie in Ihrem Fall, drehungsfrei sein oder nicht. Intuitiv ist ein Wirbel drehungsfrei, wenn das Fluidelement während der Strömung seine Orientierung beibehält, so dass die Wirbelstärke null ist. Im Allgemeinen ist die Vorticity eine lokale Eigenschaft der Strömung, während ein Wirbel eine Strömung mit geschlossenen Stromlinien ist. Oh, aber sorry, ich sollte das nicht sagen, mein Verständnis der englischen Sprache ist etwas mangelhaft ...
Ich bin froh, dass Sie den Unterschied zwischen Vortex und Vorticity verstehen , aber wenn Sie die ursprüngliche Frage gelesen haben, hat der Autor diesen Unterschied nicht verstanden: "... die Rotation ist überall Null .... Die Rotation eines Wirbels ist unendlich! " Es ist nicht schwer zu verstehen, warum jemand, der neu in der Materie ist, es für widersprüchlich halten würde, einen irrotativen Wirbel zu haben, da ein Wirbel per Definition Rotation beinhaltet. Während es für Sie und mich intuitiv sein mag, war es das nicht für den Autor der Frage.

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