Dipolarer Magnetfelddruck

Es ist relativ einfach, die gespeicherte potentielle Energie in das Magnetfeld einer gleichmäßig magnetisierten Radiuskugel abzuleiten$R$und gesamtes magnetisches Moment$\mu$:

$$\begin{equation}\tag{1} U_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \end{equation}$$

Das Feld ist innerhalb der Kugel gleichförmig und an der Außenseite dipolar. Es übt einen Druck aus, den ich berechnen möchte. In der Thermodynamik kann der Druck als partielle Ableitung der "inneren" Energie relativ zu einer Volumenänderung definiert werden:

$$\begin{equation}\tag{2} P = -\, \frac{\partial U}{\partial V}. \end{equation}$$ Seit $V = 4 \pi R^3 / 3$, ist es verlockend, (1) direkt abzuleiten (vorausgesetzt $\mu = \text{constant}$), um diese Beziehung zu erhalten: $$\begin{align} P_{\text{magn} \, 1} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V} \Big) &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V^2} \\[12pt] &\equiv \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \tag{3} \end{align}$$ Dies erinnert an die starre Zustandsgleichung $p = \rho$.

Das glaube ich nicht$\mu$könnte als unabhängige Variable betrachtet werden (das Ändern des Kugelradius kann sich auf das gesamte Dipolmoment auswirken, es sei denn, es gibt eine Art Einschränkung). Das Polarfeld$B_{\text{pole}}$bezieht sich auf$\mu$dadurch :

$$\begin{equation}\tag{4} \mu(R, B_{\text{pole}}) = \frac{2 \pi B_{\text{pole}}^2 \, R^3}{\mu_0}. \end{equation}$$ Wenn ich davon ausgehe $B_{\text{pole}}$die unabhängige Variable ist (es kann eine Einschränkung sein), dann das Einsetzen von (4) in (1) und die Ableitung ergibt stattdessen diese Beziehung (ein negativer Druck = Spannung !): $$\begin{equation}\tag{5} P_{\text{magn} \, 2} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{3 B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0} \, V \Big) = -\, \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \end{equation}$$ Dies erinnert an das kosmologische konstante Zustandsverhältnis: $p = -\, \rho$.

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit (gibt es noch andere?). Ich kann den magnetischen Fluss berücksichtigen $\Phi = B_{\text{inside}} \, \pi R^2$als unabhängige Variable (Fluss des inneren Feldes der Kugel, der durch ihren eigenen Äquator geht):

$$\begin{equation}\tag{6} \Phi = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 R}. \end{equation}$$ In diesem Fall wäre der Druck $$\begin{equation}\tag{7} P_{\text{magn} \, 3} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\Phi^2}{\pi \mu_0 \, R} \Big) = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V}, \end{equation}$$ was an die elektromagnetische Zustandsgleichung aus der relativistischen Physik erinnert: $p = \frac{1}{3} \, \rho$.

Ich vermute, dass$P_{\text{magn} \, 3}$sollte der richtige Druck des Magnetfelds sein. Aber wie soll man das begründen?

Beachten Sie das$U_{\text{magn}}/V$ist NICHT die Feldenergiedichte, da sie von einem Ort zum anderen variiert (das Feld außerhalb der Kugel ist nicht gleichmäßig, da es dipolar ist). Ich bin mir also nicht sicher, wie ich das interpretieren soll$P$oben richtig, da es eine Konstante ist (dh nicht abhängig von der Position).

Die Frage ist also folgende:

Wie groß ist der magnetische Gesamtdruck, der von einem äußeren Mittel wahrgenommen wird, das das Volumen einer magnetisierten Kugel ein wenig verändert? Ich erwarte das:

$$\begin{equation}\tag{8} P_{\text{magn} \, 3} = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{(4 \pi R^3)^2} \equiv \frac{B_{\text{int}}^2}{4 \mu_0} \equiv \frac{B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0}. \end{equation}$$