Dirac-Delta-Funktion, definiert in Zee's Quantum Field Theory-Buch

1. Bei Betrachtung einer entstehenden Delta-Funktion $\delta_{\epsilon}:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$mit einem Regularisierungsparameter$^1$ $\epsilon>0$, es ist nicht erforderlich, dass (das Lebeque-Maß) die Unterstützung ${\rm supp}(\delta_{\epsilon})$verschwindet für$\epsilon\to 0^+$. Es gibt viele Gegenbeispiele. B. der Wärmekern oder die Poisson-Kern-Darstellung$\delta$.

2. Die Dirac-Delta-Verteilung $\delta$erfüllt per definitionem das$^2$

   $$\delta[f]~=~f(0)$$ für Testfunktionen$f$.

3. Die entstehende Delta-Funktion$\delta_{\epsilon}$erfüllt

   $$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x~\delta_{\epsilon}(x)f(x)~=~f(0).$$

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$^1$Der Regularisierungsparameter von Zee kann als angesehen werden$\epsilon=1/K$.

$^2$ $\delta[f]$wird oft mit der Notation geschrieben$\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x~\delta(x)f(x)$.

Ihre Sorge ist das

$$\lim_{K\to\infty}d_K(x)=\left\{ \begin{array}{rl} \infty & x=0\\ 0 & x\ne0 \end{array}\right.\implies\int_{\Bbb R}\lim_{K\to\infty}d_K(x)dx=0\ne\lim_{K\to\infty}\int_{\Bbb R}d_K(x)dx=1.$$ Das zeigt$\delta$kann keine Funktion sein, die als punktweise Grenze von definiert ist$d_K$. In der Tat,$\delta$überhaupt keine Funktion ist, was alles ist, was eine solche punktweise Grenze erreichen kann. Stattdessen$\delta$ist eine Verteilung mit einem Maß und wird als Verteilungsgrenze wiederhergestellt , nämlich. $$\int_{\Bbb R}\delta(x)f(x)dx=\lim_{K\to\infty}\int_{\Bbb R}d_K(x)f(x)dx=f(0)$$ für ausreichend schön$f$(insbesondere,$f$kann jede Schwartz-Funktion sein ).

Diese Ableitung basiert auf dem Fourier-Integral.

In der Tat wissen Sie vielleicht, dass die Fourier-Transformation des Dirac-Deltas 1 ist, und daher ist die inverse Fourier-Transformation von 1 das Dirac-Delta.

Das sieht man tatsächlich leicht

$$\begin{equation} \mathcal{F}[\delta(x)](k) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-ikx}\,\mathrm{d}x=e^0=1 \end{equation}$$ Wenn wir die inverse Fourier-Transformation des Obigen machen $$\begin{equation} \delta(x)=\mathcal{F}^{-1}[1](x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{ikx}\,\mathrm{d}k = \lim_{K\to\infty}\int_{-K/2}^{K/2}\frac{e^{ikx}}{2\pi}\,\mathrm{d}k \end{equation}$$ was du beweisen wolltest.

Um es düster zu sagen: Wenn Sie keine Ahnung hatten, was eine Delta-Funktion ist, aber nachahmen wollten

$$f_n = \sum_{n'} \delta_{n,n'} f_{n'}$$ und schreibe$f(x)$als Summe (dh jetzt ein Integral) von so etwas, das überall Null war, außer bei$x$geben$f(x)$, wie könnte man das machen?

Obwohl es unmittelbar erscheint, was zu tun ist, können wir die Verallgemeinerung explizit machen, indem wir das obige Delta als Funktion von nur einem Argument umschreiben$n-n'$über

$$f_n = \sum_{n'} \delta_{n-n',0} f_{n'}$$ oder noch expliziter durch Einstellung$f_n = f(n)$Und$\delta_{n-n',0} = \delta(n-n')$zu bekommen $$f(n) = \sum_{n'} \delta(n-n') f(n')$$ damit die Verallgemeinerung wird $$f(x) = \int dx' \delta(x - x') f(x').$$ Um einen Ausdruck zu finden für$\delta$wir können uns an die Fourier-Integralform von erinnern$f$ $$f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int f(k) e^{i kx} dk = \frac{1}{2 \pi} \int [ \int dx' f(x') e^{-ikx'}] e^{ikx} dk = \int dx' [\frac{1}{2 \pi} \int dk e^{ik(x-x')}] f(x')$$ So finden wir $$\delta(x - x') = \frac{1}{2 \pi} \int dk e^{ik(x-x')} = \lim_{K \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-K/2}^{K/2} dk e^{ik(x-x')}$$ Jetzt können Sie dies rationalisieren, damit es funktioniert, z$\delta$erfüllt Eigenschaft X etc ... zum Beispiel$1 = \int dx' \delta(x - x')$folgt sofort. Möglicherweise müssen Sie die Vorstellung davon aufgeben, was eine Funktion ist, damit all dies funktioniert, aber sei es so.

Eine Möglichkeit, direkt zu sehen, warum dies wahr ist, besteht darin, sich zu erinnern:

$$\delta(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2 \pi} e ^ {ik.x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [the \ standard \ definition] \\ = \underset{K\to \infty}{lim} \int_{- \frac{K}{2}}^{\frac{K}{2}} \frac{dk}{2\pi} e^{ik.x} =\underset{K\to \infty}{lim} (\frac{1}{\pi x} sin(\frac{Kx}{2}))$$