Limit von Lorentzian ist Dirac Delta

Es sieht aus wie eine Delta-Funktion. Allerdings, weil$\epsilon / (\epsilon^2+t^2)$- Sie sollten einen weglassen$\epsilon$im Zähler, um das richtige Integral übrigens gleich eins zu bekommen - nimmt zu langsam ab als$|t|\to\infty$, als$1/t^2$, funktioniert es nur als Dirac-Delta-Verteilung für Testfunktionen, die im Unendlichen abnehmen oder zumindest langsamer als as ansteigen$O(t)$. Wenn die Testfunktion ist$t^2$, zum Beispiel das Integral

$$\int_{-\infty}^\infty dt\,t^2\,\delta(t)$$ sollte 0 ergeben, weil $t^2=0$für $t=0$. Mit Ihrer Definition der Delta-Funktion erhalten Sie jedoch eine abweichende Antwort, da das Integral mit unendlichem Bereich letztendlich alle schlägt $\epsilon$. Aus diesem Grund wünscht man sich in der Regel Annäherungen an Deltafunktionen, die schneller abnehmen $|t|\to\infty$als die Lorentzsche.

Offensichtlich, wenn Sie eine zusätzliche hinzufügen$\epsilon$, du erhältst$\epsilon\cdot \delta(t) = 0$unabhängig von Details über die$|t|\to\infty$Verhalten.

Die Antwort ist nein, die verallgemeinerte Funktion (= Verteilung )

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2}=0 \qquad\mathrm{a.e.}$$ ist fast überall (ae) gleich der gewöhnlichen Nullfunktion $0:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$das sendet $t\mapsto 0$.

Nachweisen. Betrachten Sie eine Testfunktion$f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$, also eine unendlich oft differenzierbare Funktion$f$mit kompakter Stütze. Dann

$$\int_{\mathbb{R}} dt \ f(t)\frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2} ~\stackrel{t=\epsilon x}{=}~\epsilon \cdot \int_{\mathbb{R}} dx \ f(\epsilon x)\cdot\frac{1}{1+x^2}$$ $$\longrightarrow 0\cdot f(0)\cdot\int_{\mathbb{R}} dx \ \frac{1}{1+x^2} = 0 \cdot f(0)\cdot\pi =0 \qquad \mathrm{for} \qquad \epsilon \to 0,$$

wegen zB Lebesgues Satz über die dominierte Konvergenz .$\Box$

Die Verteilung wird nur$\pi\delta(t)$, wenn wir einen Faktor von entfernen$\epsilon$. Hier$\delta(t)$ist die Dirac-Delta-Verteilung (oft als Dirac-Delta-Funktion bezeichnet).

Anstatt die Verteilungstheorie zu verwenden, können wir die Formel einfach interpretieren

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2}~=~\delta_{t,0}~=~\left\{\begin{array}{rcl} 1 &\mathrm{for}& t=0 \\ 0 &\mathrm{for}& t\in\mathbb{R}\backslash\{0\} \end{array}\right.$$

Als ein$t$-punktweise Grenze. Hier$\delta_{t,0}$ist die Kronecker-Delta-Funktion , die nicht mit der Dirac-Delta-Verteilung verwechselt werden sollte. Ersteres ist eine gewöhnliche Funktion, letzteres nicht. Die letzte Formel hat den zusätzlichen Vorteil, dass sie sowohl in a gilt$t$-punktweise und im Verteilungssinn, da die Kronecker-Delta-Funktion fast überall Null ist (in Bezug auf das Lebesgue-Maß ).

Lassen Sie uns zunächst zeigen, wo$\delta$bezeichnet wie üblich die Dirac-Delta-Verteilung. Wenn$\{L_\gamma\}_{\gamma > 0}$ist eine integrierbare Familie von Funktionen mit den Eigenschaften

1. $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty L_\gamma(x) \, dx = 1$für alle$\gamma > 0$(dh,$L_\gamma$sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen),
2. $\displaystyle \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x) \, dx = 1$für alle$\epsilon > 0$,

Dann$L_\gamma \to \delta$als$\gamma \to 0$, als Verteilungen.

Mathematisch bedeutet dies das Ziel, dies für alle Testfunktionen zu zeigen$f \in C_\mathrm{c}^\infty(\mathbb R)$, wir haben

$$\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^\infty L_\gamma(x)f(x) \, dx = f(0)$$ angesichts der beiden obigen Eigenschaften.

Nachweisen:

Beginnen Sie mit der Einnahme$\epsilon > 0$. Dann

$$\begin{align*} \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^\infty L_\gamma(x)f(x) \, dx &= \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x)f(x) \, dx + \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^{-\epsilon} L_\gamma(x)f(x) \, dx + \lim_{\gamma \to 0} \int_{\epsilon}^\infty L_\gamma(x)f(x) \, dx \\ &= \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x)f(x) \, dx + O\left(\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^{-\epsilon} L_\gamma(x) \, dx + \lim_{\gamma \to 0} \int_{\epsilon}^\infty L_\gamma(x) \, dx\right) \\ &= \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x)f(x) \, dx. \end{align*}$$ Die zweite Gleichheit verwendet die Begrenztheit von$f$und die dritte Gleichheit verwendet die Eigenschaften 1 und 2. Seit$\epsilon > 0$war willkürlich, Grenzen zu nehmen $$\begin{align*} \lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^\infty L_\gamma(x)f(x) \, dx &= \lim_{\epsilon \to 0}\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x)f(x) \, dx \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x)f(0) \, dx + \lim_{\epsilon \to 0}\lim_{\gamma \to 0} o(\epsilon) \\ &= f(0) \cdot \lim_{\epsilon \to 0}\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon L_\gamma(x) \, dx \\ &= f(0) \end{align*}$$ wie gewünscht. Die zweite Gleichheit verwendet die Kontinuität von$f$und die letzte Gleichheit verwendet Eigenschaft 2.

Wenden wir nun das Obige auf die Lorentz-Funktion (auch Cauchy/Lorentz/Cauchy-Lorentz-Verteilung genannt) an:

$$L_\gamma(x) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\gamma}{\gamma^2 + x^2}\right).$$ Eigenschaft 1 kann durch eine einfache Integration mit der Stammfunktion nach verifiziert werden$\arctan$. In ähnlicher Weise kann die explizite Stammfunktion verwendet werden, um Eigenschaft 2 zu verifizieren. Oftmals ist eine explizite Integration möglicherweise nicht möglich, um Eigenschaft 2 zu verifizieren, daher ist das folgende alternative Argument hilfreich. Beachten Sie, dass$L_\gamma|_{\mathbb R \setminus \{0\}} \to 0$als$\gamma \to 0$. Für alle$x > 0$, indem man die Ableitung von nimmt$\gamma \mapsto L_\gamma(x)$, finden wir, dass sein Maximum bei liegt$\gamma = x$und so wächst diese Karte weiter$(0, x]$. Daher,$\{L_\gamma|_{[\epsilon, \infty)}\}_{\gamma \in (0, \epsilon]}$ist eine monoton wachsende Familie von Funktionen. Die Anwendung des Satzes über die dominierte Konvergenz ergibt$\lim_{\gamma \to 0} \int_\epsilon^\infty L_\gamma(x) \, dx = 0$. Durch Symmetrie erhalten wir auch$\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^{-\epsilon} L_\gamma(x) \, dx = 0$. Schließlich impliziert dies zusammen mit Eigenschaft 1 die gewünschte Eigenschaft 2.