Dirac-Gleichung auf allgemeine Geometrien?

Der Lagrangian für ein masseloses Dirac-Fermion in einem allgemeinen Hintergrund ist gegeben durch:

Wo$c.c.$bedeutet komplex konjugiert.$\bar \psi = \gamma^0 \psi^+$,$e^{\mu}_I$ist die Tetrade (oder allgemeiner n-bien), die die Hintergrundmetrik via codiert$g_{\mu\nu} = e^I_{\mu} e^J_{\mu} \eta_{IJ}$, Wo$\eta_{IJ}$ist die Minkowski-Metrik$diag(-1,1,1,1)$.$\mathcal{D}_{\mu}$ist die kovariante Ableitung, deren Wirkung auf Spinoren gegeben ist durch:

Hier$\gamma_I$sind die Dirac-Matrizen und$\gamma_I\gamma_J$sind die Generatoren der Lorentz-Lügenalgebra. Für Spinoren, die sich unter der Wirkung einer allgemeinen Gruppe umwandeln, kann der zweite Term im obigen Ausdruck zu verallgemeinert werden$A_{\mu}^I T_I \psi$Wo$T_I$sind die Lügen-Algebra-Generatoren der jeweiligen Gruppe.

Das n-bien kodiert die Hintergrundmetrik. Die Messgerätverbindung codiert die Hintergrundkrümmung über$F_{\mu\nu}^{IJ} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}^{IJ} + g [A_{\mu}, A_{\nu}]^{IJ}$. Der$[..]$im ersten Term zeigt die Antisymmetrisierung über die enthaltenen Indizes an. Der zweite Term ist der Kommutator der Matrizen, die die Verbindung bilden, und ist nur für eine nicht-abelsche Gruppe ungleich Null. Der vollständige Lagrange-Operator einschließlich des für die Hintergrundgeometrie und die Dirac-Felder lautet:

Wenn die Hintergrundgeometrie statisch ist oder als statisch angesehen werden kann, ist natürlich nur der Dirac-Term von Bedeutung. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen lassen sich leicht über Variation bzgl$\psi$Und$\bar \psi$. Die vollständige Lösung muss nicht nur die Massenwerte des n-Bien und der Verbindung berücksichtigen, sondern auch die durch die Hintergrundgeometrie auferlegten Randbedingungen.

Was oben nicht gesagt wurde, ist, wie die$e \wedge e \wedge F$Term entspricht dem Einstein-Hilbert-Lagrangian. Dies ist im Wesentlichen die Verbindungsformulierung von GR, für die das Papier von Romano Geometrodynamics vs. Connection Dynamics eine hervorragende pädagogische Referenz ist .

Was bei all diesem Formalismus fehlt, ist ein konkretes Beispiel. Ich habe keinen Zweifel, dass jemand (@Lawrence?) bald einen liefern wird. Aber das sollte dich weiterbringen. Sie können auch die von @Carl erwähnte Route von Clifford/geometrischer Algebra gehen und die Vorteile einer einheitlichen Sprache auf Kosten des Zeitaufwands für das Erlernen des Frameworks nutzen. Hoffe das hilft!

Ein explizites Beispiel für eine exakte Lösung findet sich in diesem Artikel über Graphen-Wurmlöcher

Um Diracs Gleichung über gekrümmte Raumzeit aufzuschreiben, drücken Sie zuerst die Geometrie in Form von Vierbeinen und Spinverbindungen aus. Spinorbündel sind Vektorbündel über der Raumzeit, die sich lokal unter der lokalen Lorentz-Eichgruppe transformieren. Unter Verwendung der Spinverbindung können wir kovariante Ableitungen für Abschnitte des Spinorbündels aufschreiben. Um den Dirac-Operator zu erhalten, kontrahieren wir die kovariante Ableitung mit dem inversen Vierbein und kontrahieren dies mit den Gamma-Matrizen.

Sie können sich die Version der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) der Cambridge Geometry Group ansehen. Sie übersetzten GR in "geometrische Algebra", was den Gammamatrizen entspricht. Daher ist es für sie einfach, Berechnungen mit der Dirac-Gleichung an einem Schwarzen Loch durchzuführen. Hier ein Beispielpapier:

In PG Bergmann und V. de Sabbata Hrsg., Advances in the Interplay Between Quantum and Gravity Physics, 251-283, Kluwer (2002), Anthony Lasenby und Chris Doran, Geometric Algebra, Dirac Wavefunctions and Black Holes
http://www.mrao .cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/anl_erice_2001.html

Phys.Rev. D66 (2002) 024006, Chris Doran, Anthony Lasenby, Perturbation Theory Calculation of the Black Hole Elastic Scattering Cross Section http://arxiv.org/abs/gr-qc/0106039v1

Dirac-Gleichung für die Kerr-Metrik (rotierendes Schwarzes Loch):
Phys.Rev. D61 (2000) 067503, Chris Doran, Eine neue Form der Kerr-Lösung
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910099v3

Diese und Artikel, die sie zitieren oder von denen sie zitiert werden, sollten ausreichen.

Ich habe es noch nie gesehen, und ich denke, es würde Spaß machen, es in der Kleinflasche zu lösen. Im Grunde ist es eine geschlossene Version des Möebius-Streifens (was bedeutet, dass er auch nicht orientierbar ist); Die Randbedingungen sind ziemlich einfach

Nehmen Sie ein Quadrat mit Ecken A, B, C, D und Kanten AB, BC, CD, DA. Nehmen Sie nun folgende Identifikationen vor:

1) (A, AB, B) => (D, DC, C)
Dies gibt Ihnen eine periodische Bedingung für x, wodurch Ihr Quadrat zu einem Zylinder wird

Wenn Sie jetzt (B, BC, C) => (A, AD, D) machen würden, würden Sie einen Torus zurückbekommen$T^2$

wenn du es stattdessen tust

2) (B , BC, C) => (D, DA, A) Sie erhalten eine Oberfläche, die homöomorph zur Kleinflasche ist