Doppler-Kühlgrenze vs. Rückstoßgrenze

Die Doppler-Kühlgrenze beruht auf der Tatsache, dass die Atome, wenn sie Photonen absorbieren und sie spontan in zufällige Richtungen emittieren, nicht nur einen Impuls haben, der nicht kleiner ist als der eines Laserphotons, sondern dass sie auch jeweils einen Photonenimpuls in eine zufällige Richtung streuen müssen natürliche Lebensdauer des angeregten Zustands. Wenn diese Lebensdauer kurz ist, erfolgt der Random Walk im Impulsraum zu schnell, um in der Nähe des Ursprungs zu bleiben.

Wenn andererseits die spontane Emissionsrate kein Problem ist, können die Atome wirklich einen einzelnen Photonenimpuls und die zugehörige Temperatur haben,$T_\textrm{recoil}=\frac{1}{k_B}\frac{(\hbar k)^2}{2m}$, was normalerweise deutlich niedriger ist, als man es durch Doppler-Kühlung erreichen kann. Um dies zu erreichen, sind jedoch komplexere Methoden wie die Sisyphos-Kühlung erforderlich . Der Unterschied besteht darin, dass diese zweite Klasse von Verfahren auf der kohärenten Streuung von Photonen von einem Strahl in einen zweiten Strahl mit entgegengesetzter Richtung und Polarisation beruht. Andererseits erfordert die Doppler-Kühlung die spontane Emission von Photonen und wird daher durch die natürliche Lebensdauer des angeregten Zustands gesteuert – oder äquivalent dazu durch seine Umkehrung, die natürliche Linienbreite$\gamma$.

Um zu sehen, wie dies geschieht, betrachten Sie die gesamte Heiz- und Kühlleistung des Strahls bei Intensitäten weit unter der Sättigung. Die gesamte Heizleistung beträgt ungefähr die kinetische Energie eines Photons pro natürliche Lebensdauer, also ist es so$\frac{(\hbar k)^2}{2m}\gamma$.$^1$Die Kraft auf die Atome ist ungefähr der Photonenimpuls multipliziert mit der Verstimmung (warum? weil$F$muss proportional sein$v$bei niedrigen$v$damit die Kühlung funktioniert, und$v$kann nur durch die Verstimmung eintreten$kv$da dies eine Dopplerkühlung ist. Dies ist eine Rate und$F$ist eine Geschwindigkeitsverlustrate, die man haben muss$F=\hbar k\cdot kv$). Die Kühlleistung ist dann$Fv=\hbar k^2 v^2$.

Wenn man dann diese beiden Energieflussraten gleichsetzt, da sie im Gleichgewicht sind, erhält man$\gamma\hbar^2 k^2/2m=\hbar k^2 v^2$, und die mittlere Geschwindigkeit wird sein

$$\frac{1}{2}k_B T_\textrm{Doppler}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{4}\hbar \gamma.$$

Warum skaliert diese dann so? Denken Sie darüber im Großen nach$\gamma$Grenze. (Wie groß ist groß? Natürlich ist der Vergleich$\hbar \gamma \gg \hbar^2 k^2/2m$Der folgende Effekt übertrumpft also die Rückstoßgrenze.) Tatsächlich müssen Sie nicht nur jederzeit kinetische Ein-Photonen-Energie haben, sondern Sie müssen der Geschwindigkeit des Atoms auch jedes Mal einen Ein-Photonen-Impuls in einer zufälligen Richtung hinzufügen natürliche Lebensdauer. Wenn$\gamma$relativ groß ist, müssen Sie dies oft tun! Das bedeutet natürlich, dass Sie nicht zum Einzelphotonen-Impuls kommen, weil der Random Walk darauf besteht, Sie schneller aus dieser Zone um den Ursprung herum zu tragen, als Sie das Atom abkühlen können. Wenn$\gamma$ansteigt, dann nimmt die Rate des Random Walk zu, und bei konstanter Kühlleistung impliziert dies eine höhere mittlere Amplitude für den Random Walk.

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$^1$Sowohl die Kühl- als auch die Heizleistung müssen mit der Intensität multipliziert werden, geeignet normalisiert, und nahe der Sättigung sind kompliziertere Funktionen davon. Für die vorliegende Behandlung kann man dies vernachlässigen, da sowohl Erwärmung als auch Abkühlung proportional zur Intensität im Bereich weit unterhalb der Sättigung sind.