Drehimpuls um eine bewegte Achse

Der Drehimpuls ist ein Vektor, der durch definiert ist

$$\vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$$ Wo $I_{cm}$ist ein 3×3 Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt. Wenn der Drehgeschwindigkeitsvektor $\omega$um eine der Hauptträgheitsachsen liegt , dann ist der Drehimpulsvektor parallel zur Bewegungsachse und $\vec{L}_{cm} =m \rho^2 \vec{\omega}$Wo $m$ist die skalare Masse, und $\rho$ist der skalare Gyrationsradius um diese Achse.

Wenn ein Körper nicht mit rotiert$\vec{\omega}=\vec{0}$dann hat es keinen Drehimpuls (es kann immer noch einen linearen Impuls haben$\vec{p} = m \vec{v}_{cm}$).

Ich verstehe Ihre Frage wirklich nicht, da wir nicht entscheiden, über welche Achse der Drehimpuls definiert wird. Es ergibt sich aus den Bewegungs- und Trägheitseigenschaften des Körpers. Die Erhaltung des Drehimpulses besagt, dass sich der Drehimpulsvektor nicht ändert, wenn die Nettodrehmomente um den Massenmittelpunkt null sind.

Es ist eine Folge des Drehbewegungsgesetzes.

$$\sum \vec{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}_{cm}$$

Zusätzlich, um den Drehimpuls um jeden anderen Punkt A zu definieren , sagen wir, lokalisiert$\vec{r}_A$Außerhalb des Massenmittelpunkts muss auch das Impulsmoment berücksichtigt werden

$$\vec{L}_A = \vec{L}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{p}$$

Da sich die lineare Geschwindigkeit auf ähnliche Weise transformiert

$$\vec{v}_A = \vec{v}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{\omega}$$

man kann die Impulsvektoren um jeden beliebigen Punkt A als Funktion der Bewegung dieses Punktes aufstellen

$$\begin{align} \vec{p} & = m ( \vec{v}_A + \vec{r}_A \times \vec{\omega} )\\ \vec{L}_A & = I_{cm} \vec{\omega} - \vec{r}_A \times \vec{p} \end{align}$$

Dies ist wichtig, da es verwendet wird, um die Bewegungsgleichungen für starre Körper um vom Massenmittelpunkt entfernte Punkte aufzustellen. Weitere Informationen finden Sie in dieser Antwort ( Ableitung von Newton-Euler-Bewegungsgleichungen ).

Der Drehimpuls$L$eines Objekts ist immer in Bezug auf die Achse definiert, um die gedreht wird:

$$L=I\omega,$$

Wo$I$ist das Trägheitsmoment und$\omega$die Winkelgeschwindigkeit .

Das Trägheitsmoment ist definiert und kann wie hier gezeigt berechnet werden . Wo gerechnet werden muss$I$in Bezug auf eine andere Achse, die parallel zur ersten ist, kann das Parallelachsentheorem verwendet werden.

Nun in Bezug auf den Drehimpuls, analog zum linearen Impuls, es ist eine Erhaltungsgröße. Um den linearen Impuls zu ändern, muss eine Kraft aufgebracht werden und um den Drehimpuls zu ändern, muss ein Drehmoment (Moment, Paar [syn.]) aufgebracht werden .

Wie können wir den Drehimpuls eines Systems um eine Achse definieren, die sich parallel zu sich selbst bewegt? Zum Beispiel Achse, die durch CM verläuft, die senkrecht zur Körperebene ist.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig verstehe. Der Drehimpuls ist immer um eine Rotationsachse definiert. Wenn sich diese Achse selbst bewegt, hat das Objekt beide Drehimpulse$I\omega$ UND linearer Impuls$mv$($v$ist die lineare Geschwindigkeit dieser Achse).

Sehen Sie sich das Diagramm unten an:

Links dreht sich das Objekt konstant um eine Achse$\omega$: reine Drehung.

Rechts dreht sich das Objekt konstant um eine Achse$\omega$und die Achse bewegt sich mit Geschwindigkeit parallel zu sich selbst$v$: Wir haben Rotation und Translation gleichzeitig.

In beiden Fällen ist der Drehimpuls genau gleich, aber das rechte Objekt hat auch einen linearen Impuls.

Die gesamte kinetische Energie des Objekts wäre$K$:

$$K=\frac{I\omega^2}{2}+\frac{mv^2}{2}.$$

Wenn wir von Impulserhaltung sprechen, bedeutet das dann, dass der Drehimpuls um eine bestimmte feste Achse gleich bleibt, oder können wir dies auch für eine Achse beweisen, die sich parallel bewegt?

Ja. Selbst wenn sich diese Achse bewegt, bleibt der Drehimpuls erhalten, bis ein gewisses Drehmoment auf das Objekt wirkt, um seine Winkelgeschwindigkeit zu ändern$\omega$.

Ein Beispiel ist ein Zylinder, der einen glatten Hang hinunterrollt: Vorausgesetzt, es gibt genügend Reibung, ändern sich sowohl der Winkel- als auch der lineare Impuls, da die Reibung das Paar liefert$\sigma$zu ändern$\omega$.

Zum Beispiel, wenn eine Scheibe frei fällt. Können wir sagen, dass der Winkelimpuls um eine Achse, die durch CM verläuft und senkrecht zur Scheibe verläuft, gleich bleibt? Wie können wir das sagen?

Solange kein Paar auf die rotierende Scheibe wirkt, ändert sich ihre Winkelgeschwindigkeit und damit ihr Drehimpuls$L=I\omega$wird sich nicht ändern.