Drehimpuls im rotierenden nicht-trägen Bezugssystem

Nehmen wir an, dass sich der starre Körper um seinen Massenmittelpunkt (COM) und den Ursprung des Trägheitssystems dreht$F$wird am COM des starren Körpers genommen. Lassen$F'$der Drehrahmen sein und$\Omega$die Winkelgeschwindigkeit von$F'$relativ zu$F$. Unter der Annahme, dass der Ursprung von$F'$fällt zusammen mit$F$, dann die Winkelgeschwindigkeit$\omega'$des starren Körpers in$F'$ist einfach$\omega'=\omega-\Omega$. Wenn$\omega'>0,$es bedeutet, dass sich der starre Körper in die gleiche Richtung dreht bzgl$F'$bezüglich$F$. und umgekehrt.

Betrachten Sie nun den Ursprung der$F'$nicht im Massenmittelpunkt des starren Körpers liegt, findet eine Orbitalbewegung der COM bzgl$F'$. Die Umlaufgeschwindigkeit$v'$der COM relativ zu$F'$kann mit Hilfe des Geschwindigkeitstransformationsgesetzes gefunden werden

$$v=V+\Omega\,\times r'+v',$$ Wo$v$ist der Geschwindigkeitsvektor des COM relativ zu$F$,$V$ist der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs von$F'$relativ zu$F$,$r'$ist der Positionsvektor des COM relativ zu$F'$Und$v'$ist der Geschwindigkeitsvektor von COM relativ zu$F'$. In diesem Fall,$v$ist Null, da sich die COM sicherlich nicht bewegt$F$Und$V$verschwindet, wenn wir annehmen, dass es keine Translationsgeschwindigkeit des Ursprungs von gibt$F'$relativ zu$F$. Also der Bahndrehimpuls relativ zum COM$F'$Ist $$v'=-\Omega\,\times r',$$ und der Bahndrehimpuls von COM ist $$L'_{orb}=Mr'\times v',$$ Wo$M$ist die Masse des starren Körpers. Der Gesamtdrehimpuls des starren Körpers relativ zu$F'$ist deshalb $$L'=L'_{orb}+I\omega.$$ Der zweite Term bleibt bestehen, da die Rotationsbewegung des starren Körpers um seine COM unverändert bleibt, es sei denn, der Ursprung ist an der COM des starren Körpers festgelegt.

Es wird nicht halten.

Betrachten Sie ein Inertialsystem$S$mit Herkunft$O$und ein anderes System$S'$mit Herkunft$O'$. Die Vektoren der Basis von$S'$rotiere bzgl. der Vektoren der Basis von$S$mit Winkelgeschwindigkeit$\mathbb{\Omega}$. Dann,

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = \mathbf{L}^{O'} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$ wobei sich die hochgestellten Zeichen auf den Ursprung beziehen, von dem aus sie betrachtet werden, und die großgeschriebenen Größen beziehen sich auf die Position und Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts.

Wir können den ersten Term schreiben

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O'} = I^{O'}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$ bekommen $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$

Es gibt 2 besondere Fälle, in denen dies stark vereinfacht wird. Nehmen$O'$als

• das Massenzentrum.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{CM}\mathbf{\Omega} + \mathbf{R}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ Der Drehimpuls kann als Summe aus dem Drehimpuls des Körpers bzgl. des Massenschwerpunkts (Spin) und dem Drehimpuls des Massenschwerpunkts bzgl$O$(orbital).

• ein Punkt ohne Geschwindigkeit bzgl$O$.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ aber falls$O'$Ist repariert,$S'$ist träge und wir könnten es genauso gut in Erwägung ziehen$O = O'$, in welchem ​​Fall $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$