Was ist falsch daran, die Atwood-Maschine als System zu betrachten?

Question

Was ist falsch daran, die Atwood-Maschine als System zu betrachten?

Schubham

Ich bin verwirrt über eine Methode, die bei dem folgenden Problem verwendet wird. Es gibt eine Anordnung wie unten gezeigt. Die Oberfläche ist glatt und die Riemenscheiben sind leicht. Wir müssen die Beschleunigung finden $a_0$ von $m_1$ .

Problem

Die Methode, die ich zur Lösung verwendet habe, bestand darin, die Riemenscheibe B und die Massen zu berücksichtigen $m_2$ Und $m_3$ als ein einzelnes System, das mit der gleichen Beschleunigung herunterfährt wie das von $m_1$ . Wenn diese Beschleunigung sein $a_0$ , dann ergeben sich die Bewegungsgleichungen

A_{0} = \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{2} + M_{3}} G

$a_0=\frac {m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3}g$

Die Lehrbuchlösung behandelt jedoch Bewegungen aller Objekte einzeln, wo $m_1$ hat eine Beschleunigung $a_0$ , $m_2$ hat eine Beschleunigung $a_0-a$ Und $m_3$ hat eine Beschleunigung $a_0+a$ , alles aus dem Laborrahmen (Trägheit). Die so errechnete Antwort stimmt nicht mit meiner überein. Das Lehrbuch gibt

A_{0} = \frac{G}{1 + \frac{M_{1} (M_{2} + M_{3})}{4 M_{2} M_{3}}}

$a_0=\frac {g}{1+ \frac {m_1(m_2+m_3)}{4m_2m_3}}$

Die Frage ist, was das Problem bei der Berücksichtigung der Riemenscheibe B und der Massen ist $m_2$ Und $m_3$ als ein Massensystem $(m_2+m_3)$ ? Oder müssen wir Vorkehrungen treffen, wenn das System beschleunigt wird? (Die Lehrbuchlösung ist vollkommen in Ordnung und ich habe sie auch verstanden, aber was ist das Problem mit meiner?)

DarioP

Stellen Sie sich vor, was wann passiert

m_{2} \to 0

$m_2\rightarrow 0$ :

m_{3}

$m_3$ wird frei fallen und

m_{1}

$m_1$ bewegt sich nicht, oder? Deine Argumentation funktioniert also nicht sehr gut. Sie brauchen einen Weg, um die Kraft dafür zu finden

m_{2}

$m_2$ Und

m_{3}

$m_3$ auf der Riemenscheibe erzeugt, die sich im Allgemeinen von der Summe ihrer Gewichte unterscheidet ;)

Antworten (2)

Was ist falsch daran, die Atwood-Maschine als System zu betrachten?

Stellen Sie sich vor, was wann passiert $m_2\rightarrow 0$ : $m_3$ wird frei fallen und $m_1$ bewegt sich nicht, oder? Deine Argumentation funktioniert also nicht sehr gut. Sie brauchen einen Weg, um die Kraft dafür zu finden $m_2$ Und $m_3$ auf der Riemenscheibe erzeugt, die sich im Allgemeinen von der Summe ihrer Gewichte unterscheidet ;)

Kyle Kanos · Answer 1

Das sich vertikal bewegende Objekt ist eine Atwood-Maschine und die beiden Massen haben ihre eigenen Beschleunigungen, die in unterschiedliche Richtungen gehen. Die Beschleunigung von $m_2$ Und $m_3$ (getrennt vom Gesamtsystem) ist gegeben durch

\begin{matrix} (1) & A = \frac{M_{3} - M_{2}}{M_{2} + M_{3}} G \end{matrix}

$a=\frac{m_3-m_2}{m_2+m_3}g\tag{1}$

Masse $m_2$ beschleunigt nach oben, daher die Beschleunigung in Ihrem Fall von $a_0-a$ ; ebenso Masse $m_3$ beschleunigt nach unten mit einer Beschleunigung von $a_0+a$ .

Newtons 2. Gesetz besagt, dass die Summe der Kräfte gleich ist $ma$ , also sollten Sie alle Kräfte im Setup nutzen.

Wenn Sie sagen „vom Gesamtsystem getrennt“, was bedeutet das? Angenommen, es handelt sich um ihre individuellen Bewegungen, handelt es sich um den Laborrahmen oder den Rahmen der unteren Atwood-Maschine.
Nein, ich erwäge nur die Lösung für die stationäre Atwood-Maschine, wie im Wikipedia-Link angegeben.
Aber das wäre wie ... "einfach". Aber was ist das Problem an meiner Annahme?
@Shubham: wenn $m_{2}\neq m_{3}$ , bewegt sich der Massenmittelpunkt des Systems B relativ zur Riemenscheibe, also ist seine Nettobeschleunigung $a_{0} + a_{cm}$ . Es ist mit ziemlicher Sicherheit einfacher, dies zu lösen, indem Sie Freikörperdiagramme für alle drei Massen erstellen, anstatt sich Gedanken über die ordnungsgemäße Behandlung des internen Systems zu machen.

Tee ist Leben · Answer 2

Das Problem bei Ihnen ist, dass Sie die nach unten wirkende Nettokraft als nach unten annehmen $(m_2+m_3)g$ ist falsch und das führte dazu, dass Sie die Gesamtmasse zu nehmen $m_1+m_2+m_3$ was wiederum falsch ist, weil $m_2\neq m_3$ . Wenn $m_2=m_3$ dann der Schwerpunkt von $m_2$ Und $m_3$ auf der senkrechten Geraden durch die Mitte der Riemenscheibe B liegen und die Kraft würde aber genau in der Mitte der Riemenscheibe B angreifen $m_2\neq m_3$ Der Massenmittelpunkt verschiebt sich also in der Mitte der Riemenscheibe B zur effektiven Masse. $m$ , aufgrund derer die Nettokraft nach unten wirkt, zu ermitteln.

Die Nettokraft, die wirkt, ist die Spannung in der Saite, wo die Massen sind $m_2$ Und $m_3$ sind ausgesetzt. Aus Freikörperbild von $m_2$ Und $m_3$ Spannung $T$ ermittelt werden und die auf Riemenscheibe B wirkende Nettokraft wird sein $2T$ .

F_{N e T} = 2 T = 4 M_{2} M_{3} G / (M_{2} + M_{3})

$F_{net}=2T=4m_2m_3g/(m_2+m_3)$

F_{n e t} / g = m

$F_{net}/g=m$ Wo

m = 4 m_{2} m_{3} / (m_{2} + m_{3})

$m=4m_2m_3/(m_2+m_3)$ ist die effektive Masse von

m_{2}

$m_2$ Und

m_{3}

$m_3$ mit Riemenscheibe B

Das neue Problem besteht also aus zwei Massen $m_1$ Und $m$ mit Riemenscheibe A, $m$ ersetzen $m_2$ Und $m_3$ .

$F_{net}=mg$ und die Gesamtmasse ist jetzt $M=m_1+m$ Und

A_{0} = F_{N e T} / M

$a_0=F_{net}/M$

Was ist falsch daran, die Atwood-Maschine als System zu betrachten?

Schubham

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