Drehung einer Rutschleiter

Stellen Sie sich eine Leiter vor, die an einer Wand lehnt. Alle Oberflächen sind glatt. Daher wird die Leiter rutschen und fallen. Beim Fallen dreht es sich, weil äußere Drehmomente auf es einwirken. Meine Frage ist, um welche Achse dreht sich die Leiter?

Antworten (4)

Rutscht die Leiter sowohl auf dem Boden als auch auf der Wand, dann liegt der Drehpunkt dort, wo sich die beiden Normalkräfte schneiden. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass Reaktionskräfte durch das Momentenzentrum der Bewegung gehen müssen, sonst würden sie Arbeit verrichten.

Im Diagramm unten sind Kräfte rot und Geschwindigkeiten blau. Wenn sich die Leiter um einen anderen Punkt als S drehen würde, würde eine Geschwindigkeitskomponente durch die Wand oder den Boden gehen. S ist der einzige Punkt, der die Punkte A und B gleiten lässt.

Leiter

Dies führt dazu, dass der Beschleunigungsvektor der Schwerpunkt C sein soll

a → C = ( ℓ 2 ω 2 Sünde ⁡ θ − ℓ 2 ω ˙ cos ⁡ θ − ℓ 2 ω 2 cos ⁡ θ − ℓ 2 θ ˙ Sünde ⁡ θ 0 ) a → = ( 0 0 − ω ˙ )

Wenn nur die Schwerkraft wirkt, dann

ω ˙ = m g ℓ 2 Sünde ⁡ θ ich C + m ( ℓ 2 ) 2

Wie haben Sie herausgefunden, dass die Rotationsachse außerhalb des Körpers liegt?
Wie gesagt, die Rotationsachse muss dort sein, wo sich die Reaktionskräfte schneiden. Außerdem ist es der einzige Punkt, der die Geschwindigkeitsvektoren der starren Körper parallel zu den Gleitrichtungen macht.
@shortstheory, Sie können es mit der folgenden Logik erreichen. Da die Geschwindigkeit bei A horizontal sein muss, muss die Rotation irgendwo entlang der vertikalen Linie durch A erfolgen . Wenn das Rotationszentrum einen horizontalen Abstand zu A hat, dann gibt es eine Komponente der Geschwindigkeit nach oben oder unten, die nicht erlaubt ist. Bei jedem Gleitkontakt erfolgt die Drehung entlang der senkrechten Linie. Dasselbe gilt für B , was zu nur einer möglichen Lösung S führt .
@ ja72 -1: Meiner Meinung nach ist diese Antwort irreführend. Es ist irreführend zu sagen, man sei irgendwie gezwungen, einen bestimmten Punkt als Definition der Rotationsachse zu wählen. Sicher, wenn Sie verlangen, dass der Punkt bestimmte Eigenschaften erfüllt, dann denken Sie vielleicht, dass eine bestimmte Wahl natürlich ist, aber das ist eine Frage der Präferenz. Schauen Sie in Büchern über analytische Mechanik nach, und Sie werden feststellen, dass Physiker aus guten Gründen oft eine Achse wählen, die durch den Massenmittelpunkt verläuft.
@joshphysics Die Auswahl erfolgt durch die Einschränkungen und es gibt keinen anderen Punkt, der in diesem Fall funktionieren würde. Ich habe nicht einfach Punkt S gewählt , sondern die Einschränkungen. Es gibt nur einen Rotationspunkt in der Ebene.
@ ja72 Nur ein Gedanke: Die Logik hinter dem Platzieren des Referenzpunkts bei S war, dass Geschwindigkeitsvektoren an diesem Punkt ausschließlich vertikal und horizontal sein würden. Unmittelbar nachdem die Leiterspitzen ihre ursprünglichen Positionen verlassen, folgen sie jedoch einem kreisförmigen Pfad. Ist das wahr? Wenn es wahr ist, stellt der kreisförmige Pfad nicht den Pfad falsch dar, den wir physisch beobachten: dass beide Enden entweder horizontal oder vertikal verlaufen?
Siehe Bewegungspol , warum Punkt S wichtig ist. Hier stehen alle Geschwindigkeitsvektoren senkrecht zu ihren Positionsvektoren. Ja , S zeichnet einen Kreis, aber die Enden folgen nur einer linearen Bewegung.

Die Leiter fällt, weil sie ungleiche Momente der normalen Reaktionen an ihren beiden Enden erfährt. Das heißt, die Fläche drückt sowohl von unten als auch von der Seite auf die Leiter. In Abwesenheit von tangentialen Kontaktkräften wie Reibung dreht sich die Leiter und fällt.

Um ein Problem mit einer solchen Situation zu lösen, können Sie einen beliebigen Punkt als Ursprung wählen. Wenn Sie sich entscheiden, den COM der einheitlichen Leiter zu wählen, der sich in der Mitte der Leiter befindet, müssen Sie dies auch als Kraft kennen m g geht durch die COM; es trägt überhaupt nicht zur Drehung der Leiter um den COM bei! Aber wenn Sie eines der Enden des Ursprungs wählen, müssen Sie das berücksichtigen m g übt tatsächlich ein Drehmoment aus und trägt zur Drehung um diese Achse bei. Es gibt nicht genau eine Achse, die richtig gewählt werden kann, Sie können den Ursprung nach Belieben wählen, wie es das Problem erfordert.

Die Wahl ist nicht willkürlich. Eine planare Bewegung wird immer als Drehung um einen einzigen Punkt beschrieben, und die Kinematik bestimmt, wo sich dieser Punkt in diesem Fall befindet. Die Geschwindigkeit an den Enden der Leiter muss parallel zur Wand und zum Boden sein, sonst dringt die Leiter durch die Wand.
@ ja72: Nur wenn Sie darauf bestehen, die (augenblickliche) Bewegung als reine Rotation und nicht als Rotation plus Translation zu beschreiben. Zugegeben, das OP scheint danach zu fragen (da ihre Frage sonst nicht viel Sinn macht), aber im Allgemeinen scheint es mir keine sehr nützliche Methode zu sein, die Dynamik starrer Körper zu modellieren.
@IlmariKaronen, eigentlich ist es so. Bei der 3D-Bewegung handelt es sich um eine Rotation um eine momentane Linie (und eine Translation entlang der Linie), die als Schraubenbewegung bezeichnet wird. Wenn es auf 2D projiziert wird, wird dies zu einem Punkt auf der Ebene. Es ist nützlich, weil es zu einer Zerlegung von Kräften entlang Reaktions- und Wirkrichtungen führt. Das obige Problem wird zu einem 1-DOF-Problem mit einer virtuellen Stiftverbindung anstelle von 3-DOF + 2-Beschränkungen.
@IlmariKaronen. Jede Rotation plus Translation eines Punktes A kann als reine Rotation um einen Punkt P mit Koordinaten beschrieben werden
x P = x EIN − j ˙ EIN ω j P = j EIN + x ˙ EIN ω
wo v → EIN = ( x ˙ EIN , j ˙ EIN ) . Sogar in 3D wird das Obige
r → P = r → EIN + ω → × v → EIN | ω → | 2
@ja72: Vielleicht kommen wir hier von unterschiedlichen Standpunkten. Ich stimme zu, dass der DoF-Reduktionstrick hier ordentlich ist (und Ihnen dafür +1 gegeben hat), aber aus einem numerischen Hintergrund würde ich für den allgemeinen Gebrauch lieber eine Bewegungsdarstellung bevorzugen, die sich a) ohne sie nicht geändert hat externe Kräfte, b) funktionierte für alle Rotationsgeschwindigkeiten, einschließlich Null, und c) war einfach (ungefähr) über die Zeit zu integrieren. Translation + Rotation um das CoM passt zu diesen Kriterien.
Sie haben Recht, diese Methode eignet sich am besten, um ein Problem vor einer numerischen Analyse vorzubereiten und zu verstehen. Ich bekomme immer noch eine ODE am Ende zu lösen.

Dies ist ein Fall von instationärer Achsenrotation. Die Achse wird im Allgemeinen als COM der Leiter genommen, da um diese Achse herum die Massenverteilung auf beiden Seiten gleich ist.

Ich verstehe nicht, was hat die symmetrische Massenverteilung mit der Rotationsachse zu tun?
Obwohl Momente um den Massenmittelpunkt summiert werden müssen, ist das CM nicht bewegungslos, da die Summe der Kräfte nicht Null ist.

Von jedem beliebigen Punkt auf der Stange dreht sich die Stange um diesen Punkt. Siehe Landau-Mechanik.

Das OP fragt nach dem Drehpunkt eines Trägheitsrahmens. Aus einem lokalen Koordinatensystem gibt es keine Bewegung, da die Leiter ein starrer Körper ist.
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