Durchschnitt einer periodischen Spannung

Während die anderen Antworten richtig sind, habe ich persönlich Schwierigkeiten, die Richtigkeit eines Beweises aus Formeln zu "sehen". Also lasst uns ein bisschen handgewellter werden.

Nehmen wir an, der Mittelwert einer einzelnen Periode der Wellenform ist bekannt. Der Durchschnitt der nächsten Periode wird gleich sein, das ist schließlich die Definition von Periode, jede Periode ist gleich.

Wenn wir also über genau eine Periode oder zwei Perioden oder eine ganzzahlige Anzahl von Perioden mitteln, erhalten wir denselben Durchschnitt.

Was passiert jedoch, wenn wir über eine halbe Periode mitteln? Wir werden eine andere Antwort bekommen. Eine Mittelung über 1,5 oder 2,5 oder 10,5 Perioden ergibt also unterschiedliche Antworten, da der Beitrag der halben Periode anders ist als der Beitrag der vollen Periode.

Aber es gibt einen Trend. Wenn wir über n,5 Perioden mitteln, haben wir n Beiträge aus dem konsistenten Durchschnitt und nur einen Beitrag aus dem anderen. Wenn n größer wird, wirkt sich der Beitrag der halben Periode um den Faktor n kleiner aus. Wenn wir n unbegrenzt wachsen lassen, schrumpft der Halbperiodenbeitrag auf einen vernachlässigbaren Teil des Durchschnitts. In der Grenze, wenn n gegen unendlich geht, lassen wir all diese „Tendenz“-Sprache fallen und sagen einfach, dass sie gleich sind, dass der Durchschnitt nicht durch irgendwelche Nicht-Perioden-Beiträge gestört wird.

Kein streng formaler Beweis, aber... Angenommen$n$als Vielfaches von$T$damit Sie die Zeit aufteilen können$n$hinein$\frac{n}{T}$Perioden, in denen das Integral dasselbe sein wird$I=\int_0^TV(t)dt$. Dann wird die unendliche Summe sein

$$\int_0^nV(t)dt\ = \frac{n}{T}\cdot I = \frac{n}{T}\int_0^TV(t)dt$$ . Jetzt können Sie beide Seiten durch teilen $n$und haben

$$\frac{1}{n}\int_0^nV(t)dt\ = \frac{1}{T}\cdot I = \frac{1}{T}\int_0^TV(t)dt$$

Denken Sie jetzt, dass wenn$n$ist kein Vielfaches von$T$es wird einen begrenzten Teil des Integrals geben$I$hinzugefügt werden, nennen wir es$C$. Im Allgemeinen sieht es also so aus:

$$\frac{1}{n}\int_0^nV(t)dt\ = \frac{C}{n} + \frac{1}{T}\int_0^TV(t)dt$$

oder wir schreiben um:

$$\frac{1}{n}\int_0^nV(t)dt\ - \frac{C}{n} = \frac{1}{T}\int_0^TV(t)dt$$

Aber sobald wir nehmen$n$Zu$\infty$, Die$\frac{C}{n}$Begriff verschwindet, also haben wir die Gleichheit zwischen den beiden Seiten.

Sie können sagen

$$\overline{V}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^nV(t)dt=\lim_{n'\to\infty}\frac{1}{n'}\sum_{i=1}^{n'}\frac{1}{T}\int_0^TV(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^TV(t)dt$$

Wo

$$n=n'\;T$$ oder $$n'=\frac{n}{T}$$ Sie können also das Integral in die Summe über jede Periode aufteilen, weil $$V(t)=V(t+T)$$

Die von Ihnen angegebene Formel funktioniert folgendermaßen: Wir verwenden das Integral, um die Fläche unter einer bestimmten Linie zu berechnen, dh die Spannungsfunktion über ein bestimmtes Zeitintervall von 0 bis T. Sobald die Fläche berechnet ist, wenn sie durch eine Seite geteilt wird, Wir erhalten den Durchschnittswert. Wenn wir die Fläche der Spannung durch die Gesamtzeit teilen, erhalten wir die durchschnittliche Spannung. (Aus einer kurvigen Linie erhalten wir eine konstante Linie im gleichen Zeitintervall) Ich werde Bilder hinzufügen. Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen die durchschnittliche Spannung des Signals V= cos t für einen gegebenen Zeitraum von a bis b berechnen

Daher müssen wir die Funktion im Zeitraum von a bis b integrieren und die Fläche unter der Funktion berechnen

Wir teilen dann die berechnete Fläche mit der Länge ba und erhalten einen anderen Längenwert, der der Durchschnittswert ist

Dann muss die Fläche aus dem Mittelwert und dem Zeitintervall gleich der Fläche unter der Funktionslinie sein

Ein anderes Beispiel: Wenn wir den Mittelwert der Zahlen 1,2,3,4,5 berechnen wollen, müssten wir alle summieren und dann durch 5 teilen. Wir haben (1+2+3+4+5)(1/5)=3 In deinem Beispiel ersetzt du die Summe 1+2+... durch ganzzahlig und die Gesamtzahl der Werte durch (1/5)=(1/t), dann erhältst du den Mittelwert also 3 oder Vavg Wir können auch sehen, dass die Summe der Werte 1+2+3+4+5 unabhängig von der Position 5+1+2+3+4=15 immer gleich ist, das gleiche gilt auch für die Integration, weil es die gleiche Operation ist. Angesichts der periodischen Funktion 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5... haben wir immer die gleiche Summe über den Zeitraum von 5 Zahlen, unabhängig von der Startzahl. Für eine gegebene periodische Funktion mit einer Periode T und Integration über dieselbe Periode T müssen wir also immer dasselbe Ergebnis erhalten. Wenn wir versuchen, die unendliche Summe von 0 bis n zu berechnen und mit der Berechnung von 1+2+3+4+5+1 beginnen, kennen wir immer die verwendeten Zahlen und dividieren sie durch die Summe. Wir müssen den Durchschnittswert erhalten, weil wir n haben werdenavgsum/n, was eigentlich nur der Mittelwert ist.

Dies entspricht dem obigen Kommentar von MITU.

Nehmen wir an, Sie wollten wissen, wie viel Strom Ihr Haus im Laufe Ihres Lebens im Durchschnitt verbraucht hat . Nehmen wir an, Ihre Lebenszeit beträgt n Jahre.

Angenommen, Sie können sich an eine Funktion erinnern, die vollständig beschreibt, wie viel momentane Leistung Sie in diesen n Jahren verbraucht haben. Sie möchten alle diese Werte addieren, deren Anzahl unendlich ist, da die Funktion zeitkontinuierlich ist.

Um diese Zahlen zu addieren, benötigen Sie das Integral. Anschließend teilen Sie das Integral durch den Zeitraum, der Sie interessiert, n , um den Durchschnitt über diesen Zeitraum zu erhalten. Dies ist die Definition des Durchschnittswerts einer Funktion aus der Analysis. Die Grenze zur Unendlichkeit ist eine zu berücksichtigende Erweiterung, wenn die Zeitspanne n gegen unendlich geht.

So erhalten Sie schließlich Ihre durchschnittlich verbrauchte Leistung, sodass Sie effektiv die linke Seite der Gleichung angewendet haben.

Aber dann denkst du dir, dass du dein Haus (irgendwie) so eingerichtet hast, dass es jedes Jahr genau den gleichen Strom verbraucht, sodass du, wenn du dir deine Funktion noch einmal ansiehst, feststellst, dass sich die Funktion jedes Jahr wiederholt.

Da Sie wissen, dass sich Ihre Funktion jetzt jedes Jahr wiederholt, mussten Sie nicht ALLE Jahre verwenden, um Ihren Durchschnittswert zu erhalten. Sie können die gleiche Zahl erhalten, wenn Sie nur ein Jahr berücksichtigen, das die Periode T Ihrer Funktion ist. Dies ist die rechte Seite der Gleichung.