Ein dreistufiger Levi-Civita-Tensor in der vierdimensionalen Raumzeit

Question

Ein dreistufiger Levi-Civita-Tensor in der vierdimensionalen Raumzeit

Nebel meines Lebens

Ist es möglich, einen Lorentz-invarianten Levi-Civita-Tensor mit drei Rängen in der Minkowski-Raumzeit zu konstruieren? Wenn nein, warum? Ich spreche von so etwas $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ oder $\epsilon^{\alpha\beta\gamma}$ , woher jeder Index läuft $0$ Zu $3$ . Wie in dieser Antwort hier , die die Lorentz-Kovarianz des Levi-Civita-Tensors unter Verwendung der Determinantenformel beweist, würde man wohl in Schwierigkeiten geraten, wenn wir drei Levi-Civita-Tensoren haben. Bitte erläutern Sie das.

schrulligquark

Das Levi-Civita-Symbol ist wie folgt definiert:

ϵ_{0123} = 1

$\epsilon_{0123}=1$ und jede ungerade Permutation von 0123 hätte einen Wert von

ϵ

$\epsilon$ null sein. Wie würden wir also ein Levi Civita-Symbol mit 3 Rängen in 4 Dimensionen definieren?

Antworten (2)

Ein dreistufiger Levi-Civita-Tensor in der vierdimensionalen Raumzeit

Das Levi-Civita-Symbol ist wie folgt definiert: $\epsilon_{0123}=1$ und jede ungerade Permutation von 0123 hätte einen Wert von $\epsilon$ null sein. Wie würden wir also ein Levi Civita-Symbol mit 3 Rängen in 4 Dimensionen definieren?

JEB · Answer 1

Sie können Young-Tableaus/Diagramme und die Permutationsgruppe verwenden, um die Symmetrien des allgemeinen Rang-3-Tensors herauszufinden. Die Räume entsprechen den Partitionen des Ranges:

3=3 :

Ein 20-dimensionaler totalsymmetrischer Unterraum.

3=2+1 :

Zwei 20-dimensionale Unterräume mit gemischter Symmetrie.

3=1+1+1 :

Ein 4-dimensionaler total antisymmetrischer Unterraum:

A_{a β γ} = \frac{1}{6} [T_{a β γ} + T_{β γ a} + T_{γ a β} - T_{γ β a} - T_{β a γ} - T_{a γ β}]

$A_{\alpha\beta\gamma} = \frac 1 6 [T_{\alpha\beta\gamma} + T_{\beta\gamma\alpha} + T_{\gamma\alpha\beta} - T_{\gamma\beta\alpha} - T_{\beta\alpha\gamma} - T_{\alpha\gamma\beta}]$

Das ist die einzige antisymmetrische Sache, die man nach der Schurl-Weyl-Theorie machen kann.

Um die Abmessungen zu finden, habe ich die Hakenlängenformel verwendet (Summierung der Kästchen $x$ in einem Diagramm $Y(\lambda)$ ) für das Young-Diagramm, das der ganzzahligen Partition entspricht:

D ich M π_{λ} = \frac{N!}{\prod_{X \in Y} H Ö Ö k (X)}

${\rm dim}\pi_{\lambda} = \frac {n!}{\prod_{x\in Y}{\rm hook}(x)}$

Betrachtet man 3 Dimensionen ( $n=3$ ), du erhältst ${\rm dim} = 1$ , das ist das Standard-Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{ijk}$ .

Wenn Sie einstellen $n=4$ , Das Ergebnis ist ${\rm dim} = 4$ .

Das bedeutet $A_{\alpha\beta\gamma}$ transformiert sich wie ein 4-Vektor.

Der einzige antisymmetrische Teil eines Rang-3-Tensors im Minkowski-Raum dreht sich also wie ein 4-Vektor, was bedeutet, dass er nicht invariant ist und kein Kandidat dafür ist, Levi-Civita-ähnlich zu sein.

In der Zwischenzeit sind die Dimensionen der 3 anderen irreduziblen Räume alle 20 – die sicherlich keine Skalare sind und daher keine Kandidaten dafür, Levi-Civita ähnlich zu sein.

Beachten Sie, dass, wenn Sie Rang-4-Tensoren betrachten, die Partitionen wie folgt sind:

4=4 :

35 dimensional und symmetrisch.

4=3+1 :

Drei 45-dimensionale Räume mit gemischter Symmetrie.

4=2+2 :

Zwei 20-dimensionale Räume mit gemischter Symmetrie.

4=2+1+1 :

Drei 15-dimensionale Räume mit gemischter Symmetrie.

4=1+1+1+1 :

Ein vollständig antisymmetrischer 1-dimensionaler Raum, der proportional zum Levi-Civita-Symbol ist $\epsilon_{\mu\nu\sigma\lambda}$ .

Zusammenfassend lautet die Antwort "Nein", und der Grund dafür hat mit den Darstellungen der symmetrischen Gruppe auf 3-Buchstaben zu tun. Sie partitionieren den Rang = 3 und verwenden die Robinson-Schensted-Korrespondenz, um diese Partition mit irreduziblen Darstellungen der Permutationsgruppe zu verknüpfen. (Die Young-Diagramme machen diesen Schritt zum Kinderspiel). Dann ordnet die Schur-Weyl-Dualität diese irreduziblen Unterräumen von und Rang-N-Tensoren (vorzeichenbehaftete Permutationen von Indizes) zu. Schließlich gibt Ihnen die Hakenlängenformel die Abmessungen dieser Unterräume an.

Das Levi-Civita-Symbol muss unveränderlich sein (z. B. Dimension 1, wie ein Skalar) und es muss in allen Indizes vollständig antisymmetrisch sein – und das existierte einfach nicht für Rang 3 in 4 Dimensionen.

Die Antwort ist viel engagierter, als ich dachte. Ich werde ein bisschen Zeit brauchen, um das Ganze zu verstehen. Können Sie bitte etwas verweisen, wo ich etwas über Young-Tableaus, Partitionen und Hakenlängenformeln usw. lesen kann? Danke schön.
@fogofmylife Ich musste viele Referenzen aussortieren. Die meisten sind uns zu mathematisch. Die Theorie endlicher Gruppen ist abstrakt, aber ein Ausgangspunkt ist yufeizhao.com/research/youngtab-hcmr.pdf , das die Permutationsgruppe und Young-Tableaus abdeckt. Dass der auf Indizes angewendete Young-Symmetrisierer die irreduziblen Unterräume für alle Ränge in jeder Dimension über alle Felder liefert (Schur-Weyl-Dualität) ist nicht klar und mir ist keine physikalisch orientierte Referenz bekannt. Am besten per Hand ausprobieren für 0=0 (Skalare), 1=1 (Vektoren), 2=2,1+1 (Tensoren), 3=3, 2+1, 1+1+1 (das 1 one) von Hand und sehen, was passiert. Viel Glück
@fogofmylife: Die beste physikorientierte Referenz für die Schur-Weyl-Dualität ist wahrscheinlich Hamermeshs Gruppentheorie und ihre Anwendung auf physikalische Probleme , aber selbst diese ist nicht die klarste.

Raub · Answer 2

Genügt dies den Anforderungen?

In der Minkowski-Raumzeit (Signatur: -,+,+,+) lassen sich $\epsilon_{abcd}$ sei der alternierende Tensor befriedigend $\epsilon_{abcd}=\epsilon_{[abcd]}$ Und $\epsilon_{abcd}\epsilon^{abcd}=-24$ und lass $v^a$ sei die 4-Geschwindigkeit eines Beobachters ( $v^av_a=-1$ ).

Definiere den „vom Beobachter gesehenen räumlichen Wechseltensor $v^a$ "

ϵ_{A B C} = ϵ_{A B C D} v^{D},

$\epsilon_{abc}=\epsilon_{abcd}v^d,$ was befriedigt

ϵ_{a b c} = ϵ_{[a b c]}

$\epsilon_{abc}=\epsilon_{[abc]}$ ,

ϵ_{a b c} ϵ^{a b c} = 6

$\epsilon_{abc}\epsilon^{abc}=6$ , Und

v^{a} ϵ_{a b c} = 0

$v^a\epsilon_{abc}=0$ .

(Dies ist aus Robert Gerochs „General Relativity, 1972 Lecture Notes“ [ISBN 978-0987987174] entnommen.)

Dies wäre nicht Lorentz-invariant, da seine Definition vom Vierervektor abhängt $v^a$ gewählt, und dieser Vektor transformiert nicht-trivial zwischen Referenzframes.
@MichaelSeifert, da stimme ich zu. Konstruktionsbedingt hängt dies sicher von der Wahl des Vierervektors ab.

Ein dreistufiger Levi-Civita-Tensor in der vierdimensionalen Raumzeit

Nebel meines Lebens

schrulligquark

Antworten (2)

JEB

Nebel meines Lebens

JEB

Michael Seifert

Raub

Michael Seifert

Raub

Metrischer Tensor in SRT

Warum brauchen wir eine Metrik, um den Gradienten zu definieren?

Wie transformiert die Lorentz-Transformation ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Ist die Zeit ein Vektor im Minkowski-Raum? [Duplikat]

Relativistische Grundfrage - Viervektoren, Lorentz-Matrix

Verwirrung über kovariante und kontravariante Vektoren

Inkonsistenz mit partiellen Ableitungen als Basisvektoren?

Notation gemischter Tensoren: Verwechslungsgefahr bei Indexpositionen?

Warum ist der räumliche Term für kontravariante 4-Gradienten negativ, während für andere 4-Vektoren der kovariante Teil räumlich negativ ist?

Beweisen Sie, dass eine Ableitung bezüglich eines kovarianten 4-Vektors ein kontravarianter Vektoroperator ist