Ein Zweifel an der Herleitung zur Bestimmung der elektrischen Potentialdifferenz zwischen konzentrischen Kugelschalen

Das ist eine Verwirrung, die ich hatte, als ich diese Probleme machte. Wir integrieren von der äußeren Hülle des Radius$R_2$zur inneren Schale des Radius$R_1 < R_2$. Dann sind Sie auf einem solchen Integrationspfad genau richtig$d \vec{r}$zeigt "nach innen", während$\vec{E}$Punkte "nach außen", also ist ihr Skalarprodukt negativ. Aber dieses negative Vorzeichen wird bereits beim Schreiben berücksichtigt

$$\begin{align} \int_{R_2}^{R_1} \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \, dr \tag{$*$} \end{align}$$ Beachten Sie, dass der Integrand$\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0r^2}$ist positiv (seit$Q>0$), ABER, wir integrieren ab$R_2$Zu$R_1$(vom oberen Limit zum unteren Limit).

Mit anderen Worten, im$(*)$, integrieren wir eine positive Funktion, aber "in die entgegengesetzte Richtung", daher das Integral in$(*)$ist eigentlich negativ, was genau das ist, was wir erwartet haben:$\int \vec{E} \cdot d \vec{r}< 0$für den gewählten Pfad, basierend auf dem physikalischen Argument, dass die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

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Also, was los ist, ist die Tatsache, dass$d \vec{r}$Punkte "nach innen" sind bereits durch die Integrationsgrenzen berücksichtigt. (z.B. vergleiche$\int_1^2 x^2 \, dx$vs$\int_2^1 x^2 \, dx$)

Obwohl dies eine gute Frage ist, über die man nachdenken sollte, habe ich folgenden Vorschlag für die Zukunft: Wenn Sie zum Beispiel in sphärischen Koordinaten arbeiten, schreiben Sie immer

$$\begin{align} \vec{E} = E_r \hat{r} + E_{\theta} \hat{\theta} + E_{\phi} \hat{\phi} \quad \text{and} \quad d\vec{r} = dr\, \hat{r} + r \, d \theta\, \hat{\theta} + r \sin \theta \, d \phi\, \hat{\phi} \end{align}$$ so dass das Skalarprodukt ist $$\begin{align} \vec{E} \cdot d \vec{r} = E_r\, dr + E_{\theta} r \, d \theta + E_{\phi} r \sin \theta \, d \phi \end{align}$$ und legen Sie die Integrationsgrenzen sorgfältig fest, und lassen Sie die Integrationsgrenzen sich um das Vorzeichen von allem kümmern , da es sehr gefährlich ist, diese physikalischen Argumente zu verwenden, um die Vorzeichen bei der Integration richtig zu machen, da wir unwissentlich zusätzliche Minuszeichen einführen könnten.

Aber am Ende einer Berechnung sollten Sie natürlich immer mit der grundlegenden physikalischen Intuition überprüfen.

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Wenn dies immer noch nicht überzeugend ist, betrachten Sie das folgende sehr einfache Beispiel für die Linienintegration: let$\vec{F}(x,y,z) = \hat{x}$, sei ein konstantes Einheitsvektorfeld, das ins Positive zeigt$x$Richtung. Betrachten Sie den geradlinigen Pfad$C$die an dem Punkt beginnt$(2,0,0)$und endet bei$(1,0,0)$, und jetzt bitte ich Sie zu rechnen$\int_C \vec{F} \cdot d \vec{r}$.

Hier zeigt die Kurve nach links, also in die$-\hat{x}$Richtung, während$\vec{F}$Punkte hinein$\hat{x}$Richtung. Also erwarten wir natürlich, dass das Integral negativ ist. Aber, wenn wir naiv sagen$\vec{F} \cdot d \vec{r} = \hat{x} \cdot (-dx \, \hat{x}) = -dx$, und wenn Sie auch die Integrationsgrenzen als setzen$\int_2^1$, "Weil$C$startet um$x=2$und endet bei$x=1$“, dann rechnest du falsch

$$\begin{align} \int_C \vec{F} \cdot d \vec{r} &= \int_{2}^1 (-dx) = \int_1^2 \, dx = 2-1 = 1 > 0 \end{align}$$ Wir haben also festgestellt, dass das Integral positiv ist, wenn es negativ sein sollte. Also haben wir natürlich ein zusätzliches Minuszeichen hinzugefügt.

Die Sache zu beachten ist, wenn Sie schreiben$d\vec{r} = - dx \, \hat{x}$, dann müssen Sie die Integrationsgrenzen wie umkehren$\int_1^2$, wenngleich$C$beginnt ab$x=2$Zu$x=1$. Für mich ist das sehr verwirrend, also schreibe ich lieber

$$\begin{align} \int_C \vec{F} \cdot d \vec{r} &= \int_{x=2}^{x=1} \hat{x} \cdot (dx \, \hat{x} + dy \, \hat{y} + dz \, \hat{z}) \\ &= \int_{x=2}^{x=1} dx \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \end{align}$$ Auf diese Weise machen wir weniger Zeichenfehler.

Schließlich ist hier eine andere Möglichkeit, die Berechnung darzustellen, die buchstäblich die Definition von Zeilenintervallen ist (die obigen Berechnungen sind lediglich Möglichkeiten, Dinge zu schreiben, wenn man nicht ausdrücklich einen neuen Buchstaben wie z$\gamma$für die Parametrierung und einen neuen Buchstaben$t$für den Parameter). Zunächst müssen wir die betrachtete Kurve parametrisieren. Nehmen wir in diesem Beispiel die Kurve$\gamma:[0,1]\to\Bbb{R}^3$definiert als$\gamma(t)=(2-t,0,0)$. Beachten Sie, dass$\gamma(0)=(2,0,0)$Und$\gamma(1)=(1,0,0)$, Und$\gamma$ist eine gerade Linie, mit anderen Worten,$\gamma$ist wirklich eine Parametrisierung des geraden Liniensegments,$C$, ab$x=2$und endet bei$x=1$. Nun haben wir per Definition von Linienintegralen

$$\begin{align} \int_{C}\vec{F}\cdot\,d\vec{r}&=\int_0^1\langle\vec{F}(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt\\ &=\int_0^1\langle \hat{x}, -\hat{x}\rangle\,dt\\ &=-1. \end{align}$$ Sie sehen also, dass die "Geschwindigkeit" der Kurve ist$\gamma'(t)=-\hat{x}$berücksichtigt schon, dass die Kurve ab geht$x=2$Zu$x=1$.