Eine nützliche Invariante, die die "Größe" einer multiplikativen Untergruppe von Q+Q+\Bbb Q^+ darstellt

Question

Eine nützliche Invariante, die die "Größe" einer multiplikativen Untergruppe von Q+Q+\Bbb Q^+ darstellt

Mathematik
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Untergruppenwachstum
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Mike Battaglia

Für jede vernünftige $r=n/d$ , definieren

H_{S} (R) = (N D)^{S}

$h_s(r) = (nd)^s$

Wo $s > 0$ ist ein freier Parameter. Die Absicht ist, dass dies eine Darstellung dessen ist, wie "einfach" jede rationale ist; einfachere rationale Gründe werden niedriger eingestuft.

Nun, nehme an $S$ ist eine endlich erzeugte Untergruppe der multiplikativen Gruppe der strikt positiven Rationalen $\Bbb Q^+$ . Dann können wir unsere verwenden $h_s$ um einen nützlichen Begriff der "Größe" der Untergruppe wie folgt zu definieren:

H_{S} (S) = \sum_{R \in S} \frac{1}{H_{S} (R)}

$h_s(S) = \sum_{r \in S} \frac{1}{h_s(r)}$

Dies wird garantiert immer konvergieren $s>0$ . Darüber hinaus, wann immer wir haben $s \in \Bbb N^+$ , es scheint sogar gegen eine rationale Zahl zu konvergieren. Nennen wir dies die rationale verbunden mit $S$ für einen gewissen Wert von $s$ .

FRAGE: Gibt es für jede Summe einen Ausdruck in geschlossener Form, der die rationale Zuordnung zu einer beliebigen Untergruppe angibt, zumindest für $s=1$ ? Wurde dies untersucht und hat es einen Namen?

Hier sind einige Beispiele für $s=1$ , geordnet von „am größten“ bis „am kleinsten“.

Für die folgenden Beispiele weiß ich, wie man einen geschlossenen Ausdruck erhält:

\begin{aligned} H_{1} (⟨ 2, 3, 5, 7 ⟩) & = 12 \\ H_{1} (⟨ 2, 3, 5 ⟩) & = 9 \\ H_{1} (⟨ 2, 3, 7 ⟩) & = 8 \\ H_{1} (⟨ 2, 3, 25 ⟩) & = 13 / 2 = 6.5 \\ H_{1} (⟨ 2, 9, 5 ⟩) & = 45 / 8 = 5.625 \\ H_{1} (⟨ 3 / 2, 7 / 5 ⟩) & = 126 / 85 \approx 1.482 \end{aligned}

$\begin{align} h_1(\langle 2,3,5,7 \rangle) &= 12 \\ h_1(\langle 2,3,5 \rangle) &= 9 \\ h_1(\langle 2,3,7 \rangle) &= 8 \\ h_1(\langle 2,3,25 \rangle) &= 13/2 = 6.5 \\ h_1(\langle 2,9,5 \rangle) &= 45/8 = 5.625 \\ h_1(\langle 3/2, 7/5 \rangle) &= 126/85 \approx 1.482 \end{align}$

Hier sind einige Beispiele für Untergruppen, für die ich keinen geschlossenen Ausdruck habe, die aber ziemlich einfach numerisch auszuwerten sind und die leicht zu einem rationalen Wert führen

\begin{aligned} H_{1} (⟨ 2, 9, 5 / 3 ⟩) & = 5 \\ H_{1} (⟨ 4, 3 / 2, 5 ⟩) & = 37 / 8 \approx 4.625 \\ H_{1} (⟨ 6, 10 ⟩) & = 584 / 315 \approx 1.854 \\ H_{1} (⟨ 3 / 2, 5 / 2 ⟩) & = 584 / 315 \approx 1.854 \\ H_{1} (⟨ 6, 15 / 2 ⟩) & = 3459 / 2090 \approx 1.655 \end{aligned}

$\begin{align} h_1(\langle 2,9,5/3 \rangle) &= 5 \\ h_1(\langle 4,3/2,5 \rangle) &= 37/8 \approx 4.625 \\ h_1(\langle 6,10 \rangle) &= 584/315 \approx 1.854 \\ h_1(\langle 3/2,5/2 \rangle) &= 584/315 \approx 1.854 \\ h_1(\langle 6,15/2 \rangle) &= 3459/2090 \approx 1.655 \end{align}$

Mit diesen Summen ist leicht zu spielen, da sie relativ schnell konvergieren, zumindest für kleinrangige Untergruppen. Sie auf 1000 Glieder zu bringen, kann in wenigen Sekunden erledigt werden, und für all diese erhalten Sie einen relativ kurzen fortgesetzten Bruch, der plötzlich mit einer enormen Zahl in Milliardenhöhe "fast endet".

Die erste Liste ist in geschlossener Form leicht zu bekommen, weil jede Untergruppe eine Basis von paarweise teilerfremden Rationalen hat, was es ziemlich einfach macht, sie zu bekommen. Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass wir Folgendes für unsere haben $h_s(r)$ :

Für jede vernünftige $r \neq 1$ Und $s>0$ , wir haben $h_s(r) > 1$ .
Für jede vernünftige $r$ und jede ganze Zahl $z$ , wir haben $h_s(r^z) = h_s(r)^{|z|}$
Für zwei beliebige teilerfremde Rationale $r_1, r_2$ , wir haben $h_s(r_1 \cdot r_2) = h_s(r_1) \cdot h_s(r_2)$ .

Dann, wenn wir haben $S = \langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle$ , und alle $r_i$ teilerfremd sind, dann können wir jede rationale schreiben $r$ als ${r_1}^{a_1} \cdot {r_2}^{a_2} \cdot \ldots {r_n}^{a_n}$ , damit wir haben $h_s(r) = h_s(r_1)^{|a_1|} \cdot h_s(r_2)^{|a_2|} \cdot \ldots \cdot h_s(r_n)^{|a_n|}$ . Als Ergebnis können wir unsere Summe schreiben als

H_{S} (⟨ R_{1}, R_{2}, \dots, R_{N} ⟩) = \sum_{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N} \in Z^{N}} (\frac{1}{{H_{S} (R_{1})}^{| A_{1} |}} \cdot \frac{1}{{H_{S} (R_{2})}^{| A_{2} |}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{{H_{S} (R_{N})}^{| A_{N} |}})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \sum_{a_1, a_2, \ldots, a_n \in \Bbb Z^n} \left( \frac{1}{{h_s(r_1)}^{|a_1|}} \cdot \frac{1}{{h_s(r_2)}^{|a_2|}} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{{h_s(r_n)}^{|a_n|}}\right)$

die wir in ein Produkt von Summen faktorisieren können:

H_{S} (⟨ R_{1}, R_{2}, \dots, R_{N} ⟩) = (\sum_{A_{1} \in Z} \frac{1}{{H_{S} (R_{1})}^{| A_{1} |}}) (\sum_{A_{2} \in Z} \frac{1}{{H_{S} (R_{2})}^{| A_{2} |}}) \dots (\sum_{A_{N} \in Z} \frac{1}{{H_{S} (R_{N})}^{| A_{N} |}})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \left( \sum_{a_1 \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_1)}^{|a_1|}} \right) \left( \sum_{a_2 \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_2)}^{|a_2|}} \right) \ldots \left( \sum_{a_n \in \Bbb Z} \frac{1}{{h_s(r_n)}^{|a_n|}} \right)$

was, solange $s>0$ , konvergiert über einige einfache Potenzreihenmanipulationen zu

H_{S} (⟨ R_{1}, R_{2}, \dots, R_{N} ⟩) = (\frac{H_{S} (R_{1}) + 1}{H_{S} (R_{1}) - 1}) (\frac{H_{S} (R_{2}) + 1}{H_{S} (R_{2}) - 1}) \dots (\frac{H_{S} (R_{N}) + 1}{H_{S} (R_{N}) - 1})

$h_s(\langle r_1, r_2, \ldots, r_n \rangle) = \left( \frac{h_s(r_1)+1}{h_s(r_1)-1} \right) \left( \frac{h_s(r_2)+1}{h_s(r_2)-1} \right) \ldots \left( \frac{h_s(r_n)+1}{h_s(r_n)-1} \right)$

Jede durch Primzahlen erzeugte Untergruppe hat die obige Form. Da dieser Ausdruck also für alle derartigen Untergruppen konvergiert, wissen wir, dass er für jede multiplikative Untergruppe von konvergieren wird $\Bbb Q^+$ .

Antworten (2)

Eine nützliche Invariante, die die "Größe" einer multiplikativen Untergruppe von Q+Q+\Bbb Q^+ darstellt

Praveen Venkataramana · Answer 1

Für $S$ eine endliche Indexuntergruppe von $T = \{2,3,\dots,p\}$ für irgendeine Primzahl $p$ ,

\sum_{R \in S} \frac{1}{H_{1} (R)} = \sum_{R \in T} \frac{[R \in S]}{H_{1} (R)} = \frac{1}{[T : S]} \sum_{R \in T} \sum_{χ : T / S \to C^{*}} \frac{χ (R)}{H_{1} (R)}

$\sum_{r\in S} \frac{1}{h_1(r)} = \sum_{r\in T} \frac{[r\in S]}{h_1(r)} = \frac{1}{[T : S]}\sum_{r\in T} \sum_{\chi : T/S \to \mathbb{C}^*} \frac{\chi(r)}{h_1(r)}$

wobei die zweite Summe über Zeichen von reicht $T/S$ interpretiert als Funktionen aus $T$ Zu $\mathbb{C}$ . Aber da solche Zeichen vollständig multiplikativ sind, und $h_1$ multiplikativ ist, ist dies gleich

\frac{1}{[T : S]} \sum_{χ} \prod_{Q} (\sum_{R \in ⟨ Q ⟩} \frac{χ (R)}{H_{1} (R)}) = \frac{1}{[T : S]} \sum_{χ} \prod_{Q} (\frac{Q + χ (Q)}{Q - χ (Q)})

$\frac{1}{[T : S]} \sum_\chi \prod_{q}\left( \sum_{r\in \langle q\rangle} \frac{\chi(r)}{h_1(r)} \right)=\frac{1}{[T : S]} \sum_\chi \prod_{q}\left( \frac{q + \chi(q)}{q - \chi(q)} \right)$

wo die Produkte reichen über Primzahlen $2,3,\dots,p$ . Wenn $n := [T : S]$ , letzteres ist ein Element von $\mathbb{Q}[e^{2\pi i / n}]$ von der Galois-Gruppe von festgelegt $\mathbb{Q}[e^{2\pi i / n}] / \mathbb{Q}$ , also rational.

Seewoo Lee · Answer 2

Da bin ich mir fast sicher $h_{s}(S)$ sind rational für $s\in \mathbb{Z}_{>0}$ , und hier ist eine Berechnung für $h_{1}(\langle 2, 9, 5/3\rangle) = 5$ .

Jede $r\in S = \langle 2, 9, 5/3\rangle$ hat eine Form von

R = 2^{A} 3^{2 B} {(\frac{5}{3})}^{C} = 2^{A} 3^{2 B - C} 5^{C}

$r = 2^{a} 3^{2b} \left(\frac{5}{3}\right)^{c} = 2^{a} 3^{2b-c}5^{c}$ für

a, b, c \in Z

$a, b, c\in \mathbb{Z}$ , Und

H_{1} (S) = \sum_{A, B, C \in Z} \frac{1}{2^{| A |} 3^{| 2 B - C |} 5^{| C |}} = (\frac{2 + 1}{2 - 1}) \sum_{B, C \in Z} \frac{1}{3^{| 2 B - C |} 5^{| C |}} = 3 \sum_{C \in Z} \frac{1}{5^{| C |}} \sum_{B \in Z} \frac{1}{3^{| 2 B - C |}}

$h_{1}(S) = \sum_{a, b, c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{2^{|a|}3^{|2b-c|}5^{|c|}} \\ = \left(\frac{2 + 1}{2 - 1}\right) \sum_{b, c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|} 5^{|c|}} \\ = 3 \sum_{c\in \mathbb{Z}} \frac{1}{5^{|c|}} \sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|}}$ Jetzt ist die Summe vorbei

b

$b$ hängt von der Parität ab

c

$c$ :

\sum_{B \in Z} \frac{1}{3^{| 2 B - C |}} = {\begin{cases} \sum_{B \in Z} \frac{1}{3^{2 | B |}} = \frac{5}{4} & 2 | C \\ \sum_{B \in Z} \frac{1}{3^{| 2 B - 1 |}} = \frac{3}{4} & 2 ∤ C \end{cases}

$\sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{|2b-c|}} = \begin{cases} \sum_{b\in \mathbb{Z}} \frac{1}{3^{2|b|}} = \frac{5}{4} & 2|c \\ \sum_{b\in \mathbb{Z}}\frac{1}{3^{|2b-1|}} = \frac{3}{4} & 2\nmid c \end{cases}$ So

H_{1} (S) = 3 (\frac{5}{4} (1 + \frac{2}{5^{2}} + \dots) + \frac{3}{4} (\frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \dots)) = 5.

$h_{1}(S) = 3\left( \frac{5}{4} \left( 1 + \frac{2}{5^{2}} + \cdots\right) + \frac{3}{4} \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \cdots\right)\right) = 5.$

Für allgemein $S$ , ich denke, etwas lineare Algebra kann helfen, das zu zeigen $h_{1}(S)$ rational sind.

Eine nützliche Invariante, die die "Größe" einer multiplikativen Untergruppe von Q+Q+\Bbb Q^+ darstellt

Mike Battaglia

Antworten (2)

Praveen Venkataramana

Seewoo Lee

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