Einheitliche Transformation von Eigenzuständen

Ich bin mir nicht sicher, was du meinst mit „$a$Und$b$sind einzigartig “, aber eindeutig, wenn$A=UBU^\dagger$Und$U$ist einheitlich,$A$Und$B$haben die gleichen Eigenwerte, aber es bedeutet nicht$U$tut nichts.

Zum Beispiel die Pauli-Matrizen$\sigma_{x,y,z}$alle die gleichen Eigenwerte haben, durch eine einheitliche Transformation in Beziehung stehen$U$, sind aber sicherlich anders. Die Verwandlung$U$ist ein Basiswechsel, also wenn$B$ist anfänglich diagonal, sagen wir

$$B=\sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1\end{array}\right)$$ Und $U=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta/2&-\sin\theta/2\\ \sin\theta/2 &\cos\theta/2\end{array}\right)$Dann $$U\sigma_zU^{\dagger}=\cos\theta\sigma_z+\sin\theta \sigma_x$$ noch Eigenwerte haben $\pm 1$aber offensichtlich $U$hat etwas getan .
Die Eigenzustände sind es natürlich nicht mehr $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$Und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Ich interpretiere Ihren Einzigartigkeitsanspruch als die Anforderung, dass

jeder Eigenraum von beiden$A$Und$B$Dimension hat$1$.

Also, wenn$a$ist ein Eigenwert von$A$Und$A|a\rangle =a|a\rangle$, für$|a\rangle \neq 0$, dann jeder andere Eigenvektor mit demselben Eigenwert$a$ist von der Form$c|a\rangle$für jeden$c\in \mathbb C$,$c\neq 0$. Betrachten wir nur normierte Eigenvektoren,$c$ist von der Form$e^{i \theta}$für jeden$\theta \in \mathbb R$.

Unter der Annahme, dass die Spektren der genannten Operatoren reine Punktspektren sind , haben wir die spektralen Zerlegungen (die Summe wird in der Topologie der starken Operatoren verstanden, aber hier ist es ziemlich irrelevant und Sie können alles Folgende sicher auf algebraischer Ebene interpretieren)

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| \tag{1}$$ Und $$B = \sum_{b\in {\cal B}} b |b\rangle\langle b| \:.$$ wobei ich normalisierte Eigenwerte und verwendet habe ${\cal A}=\sigma(A)$, ${\cal B}=\sigma(B)$(bis auf Häufungspunkte) sind die Spektren der Operatoren.

Andererseits

$$A = UBU^\dagger$$ impliziert $$\sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| = \sum_{b \in {\cal B}} b U|b\rangle\langle b|U^\dagger\:.$$ Das ist $$A= \sum_{b \in {\cal B}} b|\psi_b\rangle \langle \psi_b|\tag{2}$$ Wo $$|\psi_b\rangle := U|b\rangle\:.$$

Das entscheidende Ergebnis ist nun das

für einen gegebenen selbstadjungierten Operator (mit Punktspektrum) ist die spektrale Zerlegung eindeutig .

Wenn wir also (1) und (2) vergleichen, schließen wir darauf

(ich)${\cal A}= {\cal B}\:,$

damit wir die Zerlegung von neu anordnen können$A$so was

$$A= \sum_{a \in {\cal A}} a|\psi_a\rangle \langle \psi_a|\:,$$

(ii)$|a\rangle \langle a| = |\psi_a\rangle \langle \psi_a|$damit, da jeder Vektor normalisiert ist

$$|\psi_a\rangle = e^{i\theta_a}|a\rangle\quad \mbox{for some $\theta_a \in \mathbb R$}\:.$$ Es gibt keine Möglichkeit, die Phasen zu bestimmen $e^{i\theta_a}$, da normalisierte Eigenvektoren bis zu einer Phase definiert sind, aber wir sind frei, sie alle festzulegen $e^{i\theta_a}=1$.

Ich betone, dass (i) und (ii) das Maximum sind, das Sie aus den Ihnen zur Verfügung stehenden anfänglichen Informationen erhalten können, dass Eigenräume eindimensional sind und dass die einheitliche Äquivalenz$A=UBU^\dagger$hält.

Siehst du das$U$hat eine Aktion (es ist falsch, dass "es eigentlich nichts tut"). Tatsächlich ändert es Eigenvektoren , lässt aber das Spektrum der Operatoren unverändert.

Wenn man die Hypothesen eindimensionaler Eigenräume fallen lässt, aber die Forderung nach einem reinen Punktspektrum beibehält, bleibt (i) angesichts der Eindeutigkeit der spektralen Zerlegung gültig, die jetzt lautet

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a P_a$$ Wo $P_a = \sum_{k=1}^{\dim E_a} |a,k\rangle \langle a,k|$ist der Orthogonalprojektor auf den Eigenraum $E_a$von $A$mit Eigenwert $a$und die Vektoren $|a,k\rangle$, variierend $k=1,\ldots, \dim E_a$, bilden eine orthonormale Basis dieses Eigenraums.

Nun, eine Ähnlichkeitstransformation für einen invertierbaren (nicht notwendigerweise unitären) Operator$^1$ $U$ ändert generisch die Eigenräume, aber nicht das Eigenwertspektrum$\{a_1, a_2,\ldots, \}=\{b_1,b_2,\ldots\}$. Daher wäre es widersprüchlich zu behaupten, dass alle Eigenwerte$\{a_1,a_2, \ldots, b_1,b_2,\ldots\}$für beide$A$Und$B$sind unterschiedlich, wenn OP das damit meint, dass sie alle einzigartig sind. Ob die einzelnen Spektren entartet sind oder nicht, spielt keine Rolle.

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$^{1}$Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.