Einschwingverhalten der Übertragungsleitung auf Stufenspannung vor Reflexionen

Ich frage speziell, ob die Antriebsschaltung die Übertragungsleitung gemäß den Telegrapher-Gleichungen als reinen Widerstand betrachtet oder ob diese Gleichungen vorhersagen, dass die Antriebsschaltung eine komplexere Last sehen wird.

Die Quelle sieht R1+Z und Z variiert mit der Zeit, wenn es verlustbehaftet ist. Eine verlustbehaftete Übertragungsleitung sieht also wie eine komplexe Last aus. Ich nehme an, Sie könnten die Fourier-Transformation von Z nehmen und herausfinden, wie die Last im Laufe der Zeit aussieht. (Meine Intuition sagt mir, dass es sich der charakteristischen Impedanz nähern wird, aber nie dort ankommen wird, bis unendlich bei t = inf jw = 0, es ist nicht wirklich DC, bis t = inf! )

Wenn die Übertragungsleitung verlustfrei ist, gibt es nach der Gleichung keine Zeitabhängigkeit und die Last sieht nach der Gleichung wie ein Widerstand aus.

Ich frage speziell, ob die Antriebsschaltung die Übertragungsleitung gemäß den Telegrapher-Gleichungen als reinen Widerstand betrachtet oder ob diese Gleichungen vorhersagen, dass die Antriebsschaltung eine komplexere Last sehen wird.

Die Gleichungen des Telegraphen zeigen nicht, dass die von der Quelle gesehene Impedanz ein reiner Widerstand ist. Sie zeigen nur an, dass die Impedanz ist: -

Dann können Sie also mit R, L, G und C herumspielen und etwas mehr Komplexität erreichen, aber wenn Sie bereit sind, einige Verluste in Kauf zu nehmen, können Sie das Verhältnis von R:L mit G:C gleichsetzen, und Sie bekommen, was ist bekannt als verzerrungsfreie Linie (auch als Heaviside-Bedingung definiert ).

Und für diesen Fall ist die Eingangsimpedanz unabhängig von der Frequenz konstant. Es ist auch rein resistiv.

Für eine nicht verzerrungsfreie T-Leitung ist die Impedanz bei ziemlich hohen Frequenzen eindeutig$\sqrt{\frac{L}{C}}$und dies ist auch eine ohmsche Eingangsimpedanz.

Für Audio (auf einer ziemlich verlustfreien Leitung) kann es sich nicht verzerrungsfrei verhalten, da G normalerweise sehr, sehr klein und R normalerweise viel größer ist als$j\omega L$(bei Audio) daher neigt die Impedanz dazu, Folgendes zu werden: -

Bei DC muss die Impedanz so werden: -

Sie können also sehen, dass eine unendliche Leitung mit ziemlich geringem Verlust eine Eingangsimpedanz wie diese hat: -

Dieses Diagramm der Impedanzgröße wurde in Microsoft Excel unter Verwendung der vier gezeigten Variablen erstellt (ungefähr das, was ein Telefonkabel sein würde). Beachten Sie, dass bei etwa 1 kHz die Impedanz etwa 600 Ω beträgt. Dies ist wichtig bei normaler Telefonie und ist die "Standard"-Impedanz, die für die Audioübertragung verwendet wird.

Größe der Impedanzformel (nicht zu schwer zu beweisen): -

Winkel der Impedanzformel (etwas schwieriger zu beweisen): -

Der oben erwähnte und gezeigte 600-Ω-Punkt ist "komplex" (nicht 100% ohmsch), daher neigen Telefon-Anti-Mithörton-Schaltungen dazu, mit dieser Impedanz auszugleichen: -

Diese Schaltung ist eine anständige Darstellung eines typischen Telefonkabels über die niedrigere Audiobandbreite.

Wenn der Schalter geschlossen ist, wie werden die Spannungs- und Stromwellenformen am angesteuerten Ende der Übertragungsleitung sein?

Sobald Sie entschieden haben, wie hoch die Eingangsimpedanz der t-Leitung ist (sie entspricht der charakteristischen Impedanz für eine unendliche Leitung über alle Zeiten), ist es eine einfache Impedanzteiler-Mathematik mit R1 und Zin.

Wenn der Schalter geschlossen ist, wie werden die Spannungs- und Stromwellenformen am angesteuerten Ende der Übertragungsleitung sein?

Nur wenn die Leitung verzerrungsfrei ist oder die Frequenz hoch genug ist, um R und G zu vernachlässigen.

Ebenfalls als Referenz ist die Impedanz einer verlustbehafteten Übertragungsleitung frequenzabhängig

Es ist normalerweise frequenzabhängig, aber nicht so für eine verzerrungsfreie Leitung.

Dies ist ein interessantes Problem.

Was Sie fragen, ist die inverse Laplace-Transformation von

$I(s) = \frac{V_0}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}$

die Ihnen genau die gesuchte Lösung liefert, aber keine Lösung in geschlossener Form hat.

Daraus können wir einige Informationen entnehmen:

Mit dem Anfangswertsatz können wir den Anfangswert des Stroms berechnen:

$I(0+) = \lim_{s \to \infty} s\frac{V_0}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}} = V_0\sqrt{\frac{C}{L}}$

Der Strom beginnt also beim verlustfreien Wellenwiderstandswert.

Der Endwertsatz gibt den Grenzwert als an$t \to \infty$von$I(t)$als$V_0\sqrt{G/R}$, die du abgeleitet hast.

Eigenschaften der Laplace-Transformation verwenden:

wenn$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$dann$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$

Sie können die Transformation der Ableitung ableiten:

$\mathcal{L}\{I'(t)\}=V_0\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}-V_0\sqrt{\frac{C}{L}}$

und unter erneuter Verwendung des Anfangswertsatzes können Sie das zeigen

$I'(0+) = \lim_{s \to \infty} s(V_0\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}-V_0\sqrt{\frac{C}{L}}) = V_0\sqrt{\frac{C}{L}} (\frac{G}{2C}-\frac{R}{2L})$

Die Leckleitfähigkeit G neigt also dazu, den Strom mit der Zeit zu erhöhen, und der Serienwiderstand R verringert ihn. Sie können dies verstehen, wenn Sie die Ausbreitung der sich vorwärts bewegenden Welle in der Zeit, in der sie sich bewegt, betrachten$\frac{t}{\sqrt{LC}}$was einen Leckstrom durch G verursacht$\frac{V_0 tG}{\sqrt{LC}}$, von denen nur die Hälfte Zeit hatte, den Eingangsstrom wieder zu beeinflussen, also den Anstieg des Stroms$\frac{V_0 tG}{2\sqrt{LC}}$entsprechend der obigen Ableitung.

In ähnlicher Weise lässt der Reihenwiderstand R den Strom sinken, wenn die Wellenfrontspannung abfällt, während sich die Welle entlang der Leitung ausbreitet.

Der Übergang vom Anfangswert zum Endwert ist glatt, ähnlich einem exponentiellen Abfall, und es ist möglich, die Zeitkonstante wie folgt abzuschätzen:

Hier ist eine Simulation des Stroms in eine 50-Ohm-Leitung, Geschwindigkeitsfaktor = 1, mit R = 42, G = 0,001 mit 50-V-Schritt (also anfänglich 1 A in$\sqrt{\frac{L}{C}}=50\Omega$, sich niederlassen$50\sqrt{\frac{G}{R}} = 0.244A$:

Die Spannung kehrt bei 100 ns auf 0 zurück. Obwohl es keine geschlossene Form der Wellenform gibt, können Sie die Fläche A zwischen der Wellenform und dem Endwert mithilfe der Eigenschaften der Laplace-Transformation berechnen.

Wenn dies ein exponentieller Zerfall war$I = I_0 + I_1 e^{-t/\tau}$dann$A = I_1 \tau$. Wir können also eine effektive Zeitkonstante abschätzen$\tau_e = A/I_1$die sich als besonders einfach herausstellen wird.

Bezeichnung$\tau_R = L/R$und$\tau_G = C/G$dann

$\tau_e = \frac{1}{2}(\tau_R + \sqrt{\tau_R \tau_G})$

In der obigen Wellenform$\tau_R = 4ns$ $\tau_G = 67ns$und$\tau_e = 20ns$was wahrscheinlich gut genug ist, damit Sie die Wellenform skizzieren können. Die Wellenform ist kein exponentieller Abfall, daher behaupte ich nicht, dass dies genau ist, sondern dass dies eine Möglichkeit ist, die Wellenform und die Zeit, über die sie variiert, abzuschätzen.

Ein anderes Beispiel:

R = 100, G = 0,01,$\tau_R = 1.7ns$ $\tau_G = 6.7ns$und$\tau_e = 5ns$

Andere:

R = 10, G = 0,01,$\tau_R = 16.7ns$ $\tau_G = 6.7ns$und$\tau_e = 27.2ns$

Die Art und Weise, wie ich das Einschwingverhalten simuliert habe, war die Verwendung einer zeitharmonischen Lösung. Die Frequenzabhängigkeit der charakteristischen Impedanz am Eingang eines langen Kabels ist bekannt.

$Z_0(\omega) = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$

Wenn Sie also das Kabel von einer sinusförmigen Quelle treiben, können Sie die Größe und Phase des Stroms daraus berechnen$Z_0(\omega)$. Wenn Sie das Kabel mit einer Rechteckwelle ansteuern, können Sie diese in Harmonische zerlegen und die Amplitude und Phase des jeweiligen Stroms berechnen und dann summieren, um den Gesamtstrom zu erhalten. Das ist alles, was ich für die obigen Simulationen getan habe. Nun, ich habe noch etwas getan – ich habe dafür gesorgt, dass ich erheblich überabgetastet habe, und einen Tiefpassfilter verwendet, um das Gibbs-Phänomen an den Übergängen zu minimieren – habe nur die Diagramme aufgeräumt. Das ist ein bisschen grob und könnte verbessert werden.

Um sich der Sprungantwort anzunähern, müssen Sie natürlich darauf achten, dass die Wirkung des vorherigen Impulses vor dem nächsten abgebaut ist. Dies ist relativ einfach, da dies eine verlustbehaftete Leitung ist - sie speichert die Ladung nicht, sodass es normalerweise darauf ankommt, genügend Zeitkonstanten zu warten, bis sich die Ladung zerstreut. Bei den Diagrammen, die ich gezeigt habe, hatte ich die Kanten nahe beieinander, um die vorübergehenden Details zu zeigen. Sie würden normalerweise die Perioden erhöhen, um eine bessere Annäherung an den Schritt zu erhalten, wie:

dies sind nur 32.000 Punkte, und der Strom ist bei der nächsten steigenden Flanke um mehr als 60 dB niedriger. Wenn das nicht ausreicht, warten Sie ein paar zusätzliche Zeitkonstanten. Dies hängt natürlich von den verschiedenen beteiligten Zeitkonstanten ab. Es ist selbstüberprüfend, da es den Fehlerstrom berechnet. Ich würde denken, dass dies so gemacht werden könnte, dass es für jedes technische Problem, das ich mir vorstellen kann, ausreichend genau ist. Mich würde interessieren, bei welchen Anwendungen dies fehlschlagen kann.

Alternativ können Sie die Impulsantwort im Fourier-Bereich simulieren. Sie können die Sprungantwort nicht erhalten, da sie unendliche Energie hat, aber einen Impuls können Sie. Es ist nur eine Frage der Art der Quadratur, die Sie für das Fourier-Integral verwenden. Die Verwendung der Rechteckwellen-Näherung ist äquivalent zum einfachen Abtasten im Frequenzbereich, Sie sollten besser versuchen, die Fourier-Transformation zu invertieren. Alternativ gibt es eine umfangreiche Literatur zur numerischen Umkehrung von Laplace-Transformationen, und das könnte auch ein guter Ort sein, um nachzusehen.

Sie haben in einem Kommentar erwähnt, dass Sie erwägen, eine Potenzreihenlösung aus den Laplace-Theoremen über Ableitungen und Anfangswerte zu konstruieren. Das scheint harte Arbeit zu sein, es ist wahrscheinlich viel einfacher, direkt aus der Laurent-Reihe für die Impedanz zu arbeiten:

$\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}$

von Alpha :

dies ermöglicht Ihnen direkt auszudrücken

$\frac{1}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}} = \sum \frac{a_n}{s^n}$

und gibt Ihnen eine Wiederholungsbeziehung für die Koeffizienten$a_n$. Sie können diese Terme dann Termweise invertieren, um die Taylor-Reihe für die Sprungantwort zu erhalten.

Das funktioniert - ich habe ein sehr schnelles Mashup gemacht. Sie müssen bei der Skalierung vorsichtig sein, aber hier ist ein typischer Plot:

R = 100, G = 0,01, 50-Ohm-Leitung, vf = 1, 100 Terme in der Reihe, Koeffizienten berechnet nach der Wiederholung auf der Alpha-Seite hier .

Ich vermute, dass der größte Teil der Diskrepanz um den Impuls herum nicht der Zustand der Leitung ist, sondern die Filterung, die ich verwendet habe, um die Gibbs zu reduzieren. Ich bin mir sicher, dass dies verbessert werden könnte, schließlich hat niemand einen perfekten Schritt, mit dem er ins Schwarze treffen kann.

Ich bin gespannt, ob Sie eine Anwendung dafür haben oder ist es eine akademische Übung? Bei den Problemen, auf die ich gestoßen bin, ist das alles etwas strittig, da$R$ist nicht konstant, sondern tendenziell proportional zu$\sqrt{f}$aufgrund des Skin-Effekts und dies neigt dazu, a zu geben$\frac{1}{\sqrt{t}}$Term in der Sprungantwort.

Danke für das interessante Problem!

Ich bin zu "alt" (und "faul" :-) ...) um diesen Effekt komplett "mathematisch durchzurechnen".
Im Allgemeinen berücksichtigen wir „Frequenz“-Effekte und verwenden die „Frequenz“-Tools zum Berechnen, was auch immer benötigt wird, da Generatoren sich wiederholende Wellen anwenden.

Aber manchmal sollten wir bei manchen Systemen auch die „Zeit“-Werkzeuge verwenden, da sich die Eigenschaften mit „Zeit“ und nicht nur mit „Frequenzen “ ändern.

Aus diesem Papier kann ich nur die Auswirkungen des "Haut"-Effekts auflisten, wenn ein Schrittimpuls angelegt wird. Ich sollte auch dieses Papier
hinzufügen .

Basierend auf einer Analogie zur AC-Skin-Effekt-Theorie können wir sagen:
• Erhöhter Schaltungswiderstand (innerhalb eines Übergangszeitraums) und erhöhte Joule-Erwärmung ist wahrscheinlich
• Die Leiterinduktivität wird verändert (innerhalb eines Übergangszeitraums)
• Eine Übergangsspannung, die mit diesem Übergangszustand verbunden ist Die Impedanz führt wahrscheinlich auch zu Abweichungen in der angenommenen dynamischen Reaktion einer bestimmten Schaltung (unerwartete und erhöhte Dämpfung).
Somit ist sofort klar, dass in bestimmten Situationen der transiente Skin-Effekt
auftritt • Einige leistungselektronische Schaltkreise mit Schaltmodus •
Transienten von DC- und AC-Stromversorgungssystemen
• Gepulste DC-Anwendungen

Ich erinnere mich nur an ein Labor, dass man, wenn man nur einen Power-Step-Impuls auf einen zylindrischen Stab anwendet, den "Stab" nicht berühren sollte, weil er an der Oberfläche heiß sein kann, aber innen kalt sein kann , dann nach Hitze drinnen verteilen ...