Elektrisches Feld außerhalb und innerhalb des Hohlraums eines Leiters

Der Hauptunterschied besteht darin, dass in dem Beispiel aus dem Buch von Griffiths der Teil der Schleife innerhalb des Hohlraums einer Feldlinie folgt (falls es Feldlinien gibt), was impliziert, dass das elektrische Feld an jedem Punkt in diesem Teil der Schleife ist tangential zur Schleife und zeigt in die gleiche Richtung entlang der Schleife. Das bedeutet für die Buchkurve den Beitrag zu$\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$ist entweder Null oder positiv. Die Kurve, die Sie im zweiten Bild gezeichnet haben, folgt jedoch nicht unbedingt einer elektrischen Feldlinie. Wenn außerhalb des Leiters ein elektrisches Feld ungleich Null vorhanden ist, verläuft Ihre Kurve für einen Teil mit dem elektrischen Feld und für den anderen Teil gegen das elektrische Feld. Diese beiden Beiträge heben sich auf.

Mathematisch ausgedrückt, wenn$\vec{r}(t)$eine parametrische Kurve ist , die die Schleife beschreibt, dann der Tangentenvektor an diese Kurve als Funktion von$t$Ist$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}(t)$. Wenn die Kurve einer elektrischen Feldlinie folgt (oder wenn das elektrische Feld überall Null ist),$\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) \parallel \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}(t)$, So

$$\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t) = E\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\biggl|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t)\biggr| \ge 0$$ Die Ungleichheit rührt daher, dass beide Größen im Produkt an jedem Punkt strikt nichtnegativ sind. Tatsächlich kann dies nur dann gleich Null sein, wenn$E\bigl(\vec{r}(t)\bigr)$ist an jedem Punkt entlang der Kurve Null. Dann können Sie diese Tatsache verwenden, um das zu finden $$\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\int_{0}^{1}\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t)\ \mathrm{d}t \ge 0$$